1．设生产某种产品个单位时的成本函数为 求：①
（万元）
为多少时，平均成本最小．
时的总成本、平均成本和边际成本；②产量
解：①∵
平均成本函数为： C (q)
C (q) q
100 q
0.25q 6 （万元 /个）
边际成本为： C (q) ∴
当 q
0.5q 6
10 时的总成本、平均成本和边际成本分别为：
C(10) 100 0.25 102
C(10)
6 10 185(元)
100 10
0.25 10 6 18.5（万元 /个）
C (10) 0.5 10 6 11（万元 /个）
②由平均成本函数求导得：
C (q)
100 q
2
0.25
令 C (q)
0得驻点 q1 20 （个）， q1 20（舍去）
由实际问题可知，当产量
q 为 20 个时，平均成本最小。
2．某厂生产某种产品 格为
解：①收入函数为：
②利润函数为：
件时的总成本函数为 （元），单位销售价
（元 /件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少？
R(q) L(q)
pq (14 0.01q)q R( q) C( q)
14q
0.01q 2 （元）
20 （元）
10q 0.02q2
04q
③求利润函数的导数： L (q) 10 0. ④令 L (q) 0 得驻点 q
250 （件）
⑤由实际问题可知，当产量为
q 250 件时可使利润达到最大，最大利润为
Lmax L (250) 10 250
0.02 2502 20 1 2 3（0元）。
3．投产某产品的固定成本为 36（万元），边际成本为 （万元 /百台）．试
求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 解：①产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量为
C
6 4
C (x)dx
6 4
(2x 40)dx ( x
2
40 x) 6 100(万元 )
4
②成本函数为：
C (x)
C ( x)dx (2x 40)dx
x2
40x C 0
又固定成本为 36 万元，所以
C (x) x2 40 x 36 (万元 )
平均成本函数为：
C ( x)
C (x)
x
x 40
36 x
(万元 /百台 )
求平均成本函数的导数得：
C (x)
1
36 x2
令 C ( x)
0 得驻点 x1 6 ， x2 6 （舍去）
由实际问题可知，当产量为 6 百台时，可使平均成本达到最低。
4．生产某产品的边际成本为
（万元 /百台），边际收入为 （万
元 /百台），其中 为产量，求：①产量为多少时利润最大；②在最大利润产量的基础上再生产 2 百台，利润将会发生什么变化．
解
(x) = (x) - (x) = (100 –2x) –8x =100 –10 x
令
(x)=0, 得 x = 10 （百台）
又 x = 10 是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故
x = 10 是 L(x)的最大
值点，即当产量为 10 （百台）时，利润最大 .
又
即从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润将减少 20 万元 .
经济数学基础形考任务四应用题答案
