例7：指导学生袁俊杰的课题：“圆锥曲线的一个定理得逆命题的研究”。在学习圆锥曲线时有这样一个结论：设AB，CD是圆锥曲线过焦点F的两动弦，弦端点连线AC，BD交于点M，则动点M的轨迹是圆锥曲线的相应准线。 当学生认识了一些创新思维的方法后，就会提出引出的反向问题是：过圆锥曲线的准线上任意一点M引圆锥曲线的交线AC，BD，那么交点所在的直线AB，CD的交点是否为焦点？
经过探索和论证，得到上述结论的逆定理是正确的，并对上述结论及逆定理做出进一步的推广。得出定理：“过椭圆的准线上任意一点M引椭圆的交线AC，BD，如果弦AB，CD的交点V在椭圆的长轴上，那么V是椭圆的这条准线相对应的焦点”等4个定理。此课题获得2006年上海市青少年创新大赛二等奖。
例8：指导学生胡汇川的课题：“公交淞嘉线高峰运力的优化方案”。他家住在嘉定，因2009年9月开始就读于吴淞中学，周末往返时需要乘坐淞嘉线公交车。多次乘坐这条线路，感到这条线路在很多方面上都有不足，班次间隔过长、乘客过于拥挤、站点过多、经常超过全程用时1小时30分钟等。淞嘉线作为连接嘉定和宝山吴淞口的重要线路，没有轨道交通和其它并行可替代的线路。这些便使他产生了策划科学营运方案的想法，即不增加运营成本，又要快捷舒适。把原数学模型转化成一个辅助模型：
Min Y=（d1+d2+ d3）x1+（d1+d2?2+ d3?2）x2+（d1+d2?3+ d3?3）x3
?q?(x1??2x2)?m1?m3?q?(x??x??x)?m122331??S.T.?x1?2?60?T。
?20?(x??x??x)?m?0.7122331???x1,x2,x3?0在LINDO软件界面下，输入上面的整数规划模型，得出了最佳方案。 比如在一个具体的实例中，利用辅助函数Y模型：
Min Y=264x1+（44+120×0.8+100×0.8）x2+（44+120×0.6+100×0.6）x3
?45?(x1?1.54x2)?1040?300?45?(x?1.54x?2.86x)?1040123??S.T.?x1?2?60?15
?20?(x?1.54x?2.86x)?1040?0.7123???x1,x2,x3?0
11
即：Min Y=264 x1+220x2+176x3
?x1?1.54x2?16.4?x?1.54x?2.86x?23.1123??S.T.?x1?8
?x?1.54x?2.86x?36.423?1??x1,x2,x3?0 在LINDO软件界面下，输入上面的整数规划模型：
运行后，输出结果。
12
当x1=8，x2=6，x3=3时，得辅助目标函数Y的最小值是3960，目标函数Z的最大值是8736-820-3960=3956。
故得原实际问题的最优规划是：当全程车8辆、大站车6辆、短程车3辆，共用车17辆，得最大纯收入3956元。
如果不优化配置，需全程车1040÷45=23辆。纯收入8736-820-264×23=1844元。不但要多配6辆车，还少收入2112元。
此课题具有实用性：公共交通的运力和需求的矛盾是普遍存在的，但目前还是营运模式单一、依靠经验决策。一套科学的决策方法、快速的计算机推演公式，对解决各类积存和突发的公交运力和效益问题具有广泛的实用性。此课题获得2010年上海市青少年创新大赛三等奖。
学生学习的内驱力是成才的原动力，一点小兴趣、小设想、独特的推演都是值得珍惜的成功的肇始，痴迷地专注是最佳的学习状态，只有扶持和引导学生的主动探索精神，才能达到学习的事半功倍。
2.5 求异创新与墨守陈规
13
在应试教育中，教师不提倡学生求异创新，因为高中数学，长期很少变化，学生难以超出教师的套路，为何让学生在迷惑中摸索。学生的少有且可贵的质疑和创新的意念逐渐退化丧失了。在可持续发展教育中，这种求异创新素养才是教育的基本目标。
例9：在圆锥曲线的教学中，涉及极坐标的内容并不多，但如果采用极坐标讨论，就能得出许多新结论。比如，过点A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）的点M（ρ0，θ0）直线方程可表示为：
sin(?1??2)?=
sin(?1??)?2+
sin(???2)?1。
用极坐标的圆锥曲线和直线方程，便推出了新的定理：“设不共线的两射线FA，FB交E1于A，B；交E2于C，D，直线AB，CD交于M，则M在直线：ρcosθ=
e1p1?e2p2上”。
e2?e1例10：指导学生张明豪的课题：“应用一组实数列对分式迭代函数的代数结构的研究”。应用一组实数列，对线性分式函数f(x) =
cx?d的n次迭代函数的ax?bfn(x)的表达式及其性质进行了讨论，深入研究其实数域上的代数结构、极限函数、图像的变化规律，其结论更全面、更深入。其中的一部分结论是：
“如果??(b?c)2?4ad＞0，则：
[(r1?b)r1n?(r2?b)r2n]x?d(r1n?r2n)fn(x)=； nnnna(r1?r2)x?[(r1?c)r1?(r2?c)r2]当r1＜r2，lim fn(x) =
n??c?b??c?b??；当r1＞r2， lim fn(x)= . ”
n??2a2a“如果??(b?c)2?4ad＜0，则： 1） fn(x)=
[rsin(n?1)??bsinn?]x?dsinn?；
(asinn?)x?[rsin(n?1)??csinn?]2m???(b?c)?4ad2）fn(x)可构成n阶循环群?tan=，(m=1，2，?，
Tb?c 14
m?(b?c)2T2T-1)，(T，m)=1?4cos=，m∈[1，)∩N ，(T，m)=1；
T2bc?ad2 3）若sinn?≠0，得：
fn(x) =
并且运用了MATHEMATICA数学软件，选定具体的实例，绘制了y=f1(x)，y=f2(x)，y=f3(x)，y=f4(x)，y=f5(x)，y=f6(x)等图形，验证了已推出结论的正确性。
Plot2x1?x2,(??cotn??c?b)x?2d2ax???cotn??b?c 。”
????????????????????????????????????????????3^11x3^11?3^11x3^11,3^21x3^21?3^21x3^21,3^31x3^31?3^31x3^31,3^41x3^41?3^41x3^41,3^51x3^51?3^51x3^51,3^61x3^61?3^61x3^61,x,5,5
642-4-2-224
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上海市教育学会立项课题数学的探究课题对高中学生影响的研
