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【点评】本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似，全等等知识点．
15．（5分）已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则这五个数据的标准差是 ．
【分析】先解方程得到a，b的值，计算出平均数和方差后，再计算方差的算术平方根，即为标准差．
【解答】解：由方程x2﹣3x+2=0 解方程的两个根是1，2，即a=1，b=2 故这组数据是3，1，4，2，5 其平均数
（3+1+4+2+5）=3
方差S2=[（3﹣3）2+（1﹣3）2+（4﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]=2 故五个数据的标准差是S=故本题答案为：
．
=
【点评】计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是： （1）计算数据的平均数；
（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差； （3）计算偏差的平方和；
（4）偏差的平方和除以数据个数． 标准差即方差的算术平方根； 注意标准差和方差一样都是非负数．
16．（5分）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 （4，33） ．
【分析】把含p的项合并，只有当p的系数为0时，不管p取何值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标．
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【解答】解：y=2x2﹣px+4p+1可化为y=2x2﹣p（x﹣4）+1， 分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关； 故不管p取何值时都通过定点（4，33）．
【点评】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．
三、解答题（共70分）
17．（15分）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2， （1）若x12+x22=6，求m值； （2）求
的最大值．
【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．
（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0， ∴m＜1，
结合题意知：﹣1≤m＜1．
（1）∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6 ∴
，
∵﹣1≤m＜1， ∴
；
（2）=
=
（﹣1≤m＜1）．
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∴当m=﹣1时，式子取最大值为10．
【点评】本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1+x2=化简代数式的值．
18．（15分）如图，开口向下的抛物线y=ax2﹣8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC， （1）求OC的长及
的值；
，x1x2=来
（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．
【分析】（1）根据抛物线的解析式即可求出A、B的坐标，也就得出了OA、OB的长，根据题中给出的相似三角形得出的比例线段可求出OC的长．已知了OA、OB的长即可得出三角形OBC和三角形OCA的面积比，而根据面积比等于相似比的平方即可得出BC与AC的比例关系．
（2）当C是BP中点是，OC就是直角三角形OBP的斜边的中线，因此OC=BC，三角形OCB是等腰三角形，可过C作x轴的垂线通过构建直角三角形求出C点坐标，进而可得出直线BP的解析式，将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式． 【解答】解：
（1）由题设知a＜0，
且方程ax2﹣8ax+12a=0有两二根， 两边同时除以a得，x2﹣8x+12=0 原式可化为（x﹣2）（x﹣6）=0
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x1=2，x2=6 于是OA=2，OB=6 ∵△OCA∽△OBC ∴OC2=OA?OB=12即OC=2而
===，故
（2）因为C是BP的中点 ∴OC=BC从而C点的横坐标为3 又
∴
设直线BP的解析式为y=kx+b， 因其过点B（6，0），则有∴∴又点∴∴
，
在抛物线上
∴抛物线解析式为：．
【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、相似三角形的性质等知识点．
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19．（15分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表： 家电名称 工 时 产值（千元） 空调 彩电 冰箱 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）
【分析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，建立三元一次方程组，则总产值A=4x+3y+2z，由于每周冰箱至少生产60台，即z≥60，所以x+y≤300，又由于生产空调器、彩电、冰箱共360台，故有x≥30台，即可求得，具体的x，y，z的值．
【解答】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，则有
，
①﹣②×4得3x+y=360，
总产值A=4x+3y+2z=2（x+y+z）+（2x+y）=720+（3x+y）﹣x=1080﹣x， ∵z≥60， ∴x+y≤300， 而3x+y=360， ∴x+360﹣3x≤300， ∴x≥30， ∴A≤1050，
即x=30，y=270，z=60．
最高产值：30×4+270×3+60×2=1050（千元）
【点评】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把
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2017年武汉市华中师范大学第一附属中学自主招生数学试卷
