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2017年浙江省宁波市海曙区兴宁中学自主招生数学模拟
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（ ）
A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
【分析】连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案． 【解答】解：连接EM， CE：CD=CM：CA=1：3 ∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3 ∴AH=（3﹣）ME， ∴AH：ME=12：5
∴HG：GM=AH：EM=12：5 设GM=5k，GH=12k， ∵BH：HM=3：2=BH：17k ∴BH=
K，
k：12k：5k=51：24：10
∴BH：HG：GM=故选D．
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【点评】此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用．
2．（5分）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是
；又直角三角形内切圆的半径r=
，则
a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是
．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有： S=又∵r=
， ，
∴a+b=2r+c， 将a+b=2r+c代入S=又∵内切圆的面积是πr2， ∴它们的比是故选B．
【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．
3．（5分）抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
．
得：S=
r=r（r+c）．
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A．≤a≤1 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤2
【分析】此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决了． 【解答】解：由右图知：A（1，2），B（2，1）， 再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小， 把A点代入y=ax2得a=2， 把B点代入y=ax2得a=，
则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2． 故选D．
【点评】此题考查学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．
4．（5分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元．现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需（ ） A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元
【分析】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，根据“购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元”建立三元一次方程组，然后将两个方程联立，即可求得x+y+z的值．
【解答】解：设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，
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根据题意得：
③x﹣②y可得：x+y+z=1.05． 故选B．
，
【点评】本题考查三元次方程组的实际应用，解题关键是根据两个等量关系列出方程组；而利用整体思想，把所给两个等式整理为只含x+y+z的等式是解决本题的难点．
5．（5分）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．
方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y=ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x=1时，对应的函数值的符号，即可得出结论． 【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根， 则a≠0且△＞0，
由（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0， 解得﹣＜a＜， ∵x1+x2=﹣
，x1x2=9，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0， 那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0， 即9+解得
+1＜0， ＜a＜0，
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最后a的取值范围为：故选D．
＜a＜0．
方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a， 由于方程的两根一个大于1，一个小于1， ∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧， 当a＞0时，x=1时，y＜0， ∴a+（a+2）+9a＜0， ∴a＜﹣
（不符合题意，舍去），
当a＜0时，x=1时，y＞0， ∴a+（a+2）+9a＞0， ∴a＞﹣∴﹣
，
＜a＜0，
故选D．
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）△=0?方程有两个相等的实数根； （3）△＜0?方程没有实数根．
2、根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1x2=．
6．（5分）如图，正方形ABCD的边AB=1，无阴影两部分的面积之差是（ ）
和
都是以1为半径的圆弧，则
A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
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2017年武汉市华中师范大学第一附属中学自主招生数学试卷
