0318
一个轻弹簧在60 N的拉力作用下可伸长30 cm．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg．待其静止后再把物体向下拉10 cm，然后释放．问： (1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？ (2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？二者在何位置开始分离？
解：(1) 小物体受力如图． N 设小物体随振动物体的加速度为a，按牛顿第二定律有（取向下为正） mg?N?ma 1分
N?m(g?a)
当N = 0，即a = g时，小物体开始脱离振动物体，已知 1分 mg
60N/m A = 10 cm，k?0.3-有 ??k/m?50 rad·s1 2分
-系统最大加速度为 amax??2A?5 m·s2 1分
此值小于g，故小物体不会离开． 1分 (2) 如使a > g，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得
g?a???x 2分 x??g/???19.6 cm 1分
即在平衡位置上方19.6 cm处开始分离，由amax??2A?g，可得
A?g/?2=19.6 cm． 1分
3014
一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm处速度是24 cm/s，求
(1)周期T；
(2)当速度是12 cm/s时的位移．
解：设振动方程为x?Acos?t，则 v??A?sin?t
(1) 在x = 6 cm，v = 24 cm/s状态下有 6?12cos?t 24??12?sin?t
解得 ??4/3，∴ T?2?/??3?/2s?2.72 s 2分 (2) 设对应于v =12 cm/s的时刻为t2，则由
v??A?sin?t 得 12??12?(4/3)?sin?t2， 解上式得 sin?t2??0.1875 相应的位移为
2 x?Acos?t2??A1?sin?t2??10.8 cm 3分
223021
一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm处速率是24 cm/s．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数?为多少？
解：若从正最大位移处开始振动，则振动方程为
???A?sin?t x?Acos(?t), x??24 cm/s 在x?6cm处，x∴ 6 =12|cos??t|， 24=|-12???sin???t|，
??4/3rad/s 3分
???A?2cos?t， ?x??A?2 ① 2分 ?最大，为 ?木板在最大位移处?xx解以上二式得
若mA?2稍稍大于?mg，则m开始在木板上滑动，取
?mg?mA?2 ② 2分
∴ ??A?2/g?0.065 3 ③ 1分
3022
一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点( t = 0 )，
经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B
A B 点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且AB = 10 cm
?x v 求：
(1) 质点的振动方程； (2) 质点在A点处的速率．
t = 4 s解：由旋转矢量图和 |vA| = |vB| 可知 T/2 = 4秒，
-1
?∴ T = 8 s， ? = (1/8) s， xAB-1
vvvB ???????????????? s 3分 AOB(1) 以AB的中点为坐标原点，x轴指向右方．
t = 0时， x??5 cm?Acos?
t = 2 s
?t = 0t = 2 s
时， x?5 cm?Acos(2???)??Asin?
由上二式解得 tg? = 1
因为在A点质点的速度大于零，所以? = -3?/4或5?/4（如图） 2分
A?x/cos??52 cm 1分 ∴ 振动方程 x?52?10?2cos?(t?3?) (SI) 1分
44?2?52??10dx (2) 速率 v??sin(?t?3?) (SI) 2分 dt444当t = 0 时，质点在A点
?52??10?2sin(?3?)?3.93?10?2 m/s 1分
v?dx?dt443027
在一平板上放一质量为m =2 kg的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为T =
1s，振幅A = 4 cm，求 2 (1) 物体对平板的压力的表达式． (2) 平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？ 解：选平板位于正最大位移处时开始计时，平板的振动方程为
N x?Acos4?t (SI)
??x2?? N?mg?mx?mg?16?Acos4?t (SI) ② mg2 物对板的压力为 F??N??mg?16?Acos4?t (SI)
2 ??19.6?1.28?cos4?t ③ 2分
???16xπ2Acos4πt (SI) 1分 ?? ① 1分 x (1) 对物体有 mg?N?m? (2) 物体脱离平板时必须N = 0，由②式得 1分
mg?16?2Acos4?t?0 (SI)
cos4?t??若能脱离必须 cos4?t?1 (SI)
即
q 1分 216?A A?g/(16?2)?6.21?10?2 m 2分
11cos(?t??) (SI)
343264
一质点作简谐振动，其振动方程为 x?6.0?10?2 (1) 当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？ (2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？ 解：(1) 势能 WP?121kx 总能量 E?kA2 2212A2??4.24?10?2 m 2分 由题意，kx?kA/4， x??22 (2) 周期 T = 2?/? = 6 s 从平衡位置运动到x??A2最短时间 ?t 为 T/8．
∴ ?t = 0.75 s． 3分
3265
在一轻弹簧下端悬挂m0 = 100 g砝码时，弹簧伸长8 cm．现在这根弹簧下端悬挂m = 250 g的物体，构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm，并给以向上的21 cm/s的初速度（令这时t = 0）．选x轴向下, 求振动方程的数值式． 解： k = m0g / ?l ?0.1?9.8N/m?12.25 N/m
0.0812.25?1 ??k/m?s?7s?1 2分 O 0.2522x0?v0/?2?42?( A?212)cm?5 cm 2分
x 7 tg???v0/(x0?)??(?21)/(4?7)?3/4，? = 0.64 rad 3分
x?0.05cos(7t?0.64) (SI) 1分
3273
一弹簧振子沿x轴作简谐振动（弹簧为原长时振动物体的位置取作x轴原点）．已知振动物体最大位移为xm = 0.4 m最大恢复力为Fm = 0.8 N，最大速度为vm = 0.8? m/s，又知t = 0的初位移为+0.2 m，且初速度与所选x轴方向相反．
(1) 求振动能量； (2) 求此振动的表达式．
解：(1) 由题意 Fm?kA，A?xm，k?Fm/xm．
E?121kxm?Fmxm?0.16 J 3分 22vv (2) ??m?m?2? rad /s 2分
Axm由 t = 0， x0?Aco?s=0.2 m， v0??A?sin??0
可得
??1? 2分
3则振动方程为 x?0.4cos(2?t?
1?) 1分 33391
在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l0 = 1.2 cm而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式． 解：设小球的质量为m，则弹簧的劲度系数 k?mg/l0．
kl0 k(l0+x) 选平衡位置为原点，向下为正方向．小球在x处时，根l0 据牛顿第二定律得
x mg?k(l0?x)?md2x/dt2
mg x 将 k?mg/l0 代入整理后得
mg 22 dx/dt?gx/l0?0
∴ 此振动为简谐振动，其角频率为． 3分
??g/l0?28.58?9.1? 2分
设振动表达式为 x?Acos(?t??)
由题意： t = 0时，x0 = A=2?10m，v0 = 0，
解得 ? = 0 1分
?2∴ x?2?10?2cos(9.1?t) 2分
3827
质量m = 10 g的小球与轻弹簧组成的振动系统，按x?0.5cos(8?t?1?)的规律作自
3由振动，式中t以秒作单位，x以厘米为单位，求
(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相； (2) 振动的速度、加速度的数值表达式； (3) 振动的能量E； (4) 平均动能和平均势能．
-解：(1) A = 0.5 cm；? = 8? s1；T = 2?/? = (1/4) s；? = ?/3 2分
1sin(8?t??) (SI)
3???32?2?10?2cos(8?t?1?) (SI) 2分 a??x3121-22 (3) E?EK?EP?kA?m?A=7.90×105 J 3分
22T12 (4) 平均动能 EK?(1/T)?mvdt
20???4??10 (2) v?x?211?222m(?4??10)sin(8?t??)dt ?2301- = 3.95×105 J = E 2 ?(1/T)T同理 EP?1E= 3.95×10-5 J 3分 23828
一质量m = 0.25 kg的物体，在弹簧的力作用下沿x轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲
-度系数k = 25 N·m1． (1) 求振动的周期T和角频率?．
(2) 如果振幅A =15 cm，t = 0时物体位于x = 7.5 cm处，且物体沿x轴反向运动，求初速v0及初相?． (3) 写出振动的数值表达式．
解：(1)
??k/m?10s?1 1分
T?2?/??0.63 s 1分
2x0?(v0/?)222 (2) A = 15 cm，在 t = 0时，x0 = 7.5 cm，v 0 < 0 由 A?
得 v0???A?x0??1.3 m/s 2分 ??tg(?v0/?x0)?∵ x0 > 0 ，∴ ???11? 或 4?/3 2分 31? 3?2 (3) x?15?101cos(10t??) (SI) 2分
33834
- 一物体质量为0.25 kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25 N·m1，如果起始振动时具有势能0.06 J和动能0.02 J，求
(1) 振幅； (2) 动能恰等于势能时的位移； (3) 经过平衡位置时物体的速度． 解：(1) E?EK?Ep?12kA 21/2 A?[2(EK?Ep)/k]= 0.08 m 3分
121kx?mv2 2222222 m?x?m?Asin(?t??)
(2)
x?Asin(?t??)?A[1?cos(?t??)]?A?x 2x?A， x??A/2??0.0566 m 3分 (3) 过平衡点时，x = 0，此时动能等于总能量 E?EK?Ep?2222222221mv2 21/2 v?[2(EK?Ep)/m]??0.8 m/s 2分
3835
在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s内完成48次振动，振幅为5 cm．
(1) 上述的外加拉力是多大？
大学物理机械波振动题目汇总
