概率论与数理统计》复习提要
第一章 随机事件与概率
1．事件的关系 2 ．运算规则 3．概率性： 独立 （注意独立性的应用）
（2） （ 3） （4） 满足的三条公理及性质： 件，有 （可（1）
（ 3）对互不相容的事 以取） （6），若，则， （ 7）1） （2）
（ 4） （5） （8）
4 ．古典概型：基本事件有限且等可能
5．几何概率 6 ．条件概率
定义：若，则 （2） 乘
（ 1
，则有 （ 3） 全概率公式：
）
7 ．事件的独立 第二章 随机变量与概率
法公式： 若为完备事件组，
分
（ 4） Bayes 公式：
布 1 ． 离散随机变量：取有限或可列个值，满足（ 1），（ 2） （ 3）对 任意， 2 ． 连续随机变量：具有概 率密度函数，满足（ 1） （ 2） ；
（3）对任意，
4． 分布函数 ，具有以下性质 （ 1）；（ 2）单调非降；（ 3）右连 续； （ 4），特别； （5）对离散随机变量， ； （ 6） 为连续函数，且在连续点上， 5 ． 正态分布的 概率计算 以记标准正态分布的分布函数，则有 （ 1）；（ 2）；（ 3） 若，则 ； （ 4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6 ． 随机变量的函数 （1）离散时，求的值，将相同的概率 相加； （ 2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导
数， ，若不单调，先求分布函数，再求导。 第三章 随机向量
1． 二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布 ，有 （ 1）；（ 2 （3）， 2 ． 二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 1）；（ 2） （4） （3）； 4 ． 二维正态分布 有 （ 1）3． 二维均匀分布，其中为的面积 且；
5 ． 二维随机向量的分布函数 关于单调非降；（ 2）关
于右连续； （ 3）；（ 5）； （6）对 （ 4），，．随机变量的独立性 独立 （1） ； （ 3） 二维正态分布独立，且
7．随机变量的函数分布 1） 和的分布 的密度（ 2） 最大最小分布
（1） 离散时 （2） 连续 第四章 随机变量的数字特征 1 ．期望
时
； ，； （3） 二维时 ，
（4） ；
1）方差，标准差（ 2）；
（ 4）
（5）
5）； （6）； （7）独立时， 2 ．方差
3）； （ 4）独立时， 3 ．协方差
1）； ； ； （2） （ 3）；
时， 但正态时等价； 称不相关，独立不相关，反之不成立，
4．相关系数 ；有，
大数定律与中心极限定理 1
3．中心极限定理
5 ． 阶原点矩， 阶中心矩 第五
章 ．Chebyshev 不等式 2 ．大数定律 1）设随机变量独立同分布，
或 ，
（ 2）设是次独立重复试验中
发生的次数，，则对任意， 或理解为若，则 第六
章 样本及抽样分布 1 ．总体、样本 （ 1） 简单随机样本：即独立同分
布于总体的分布（注意样本分布的求法）； （2） 样本数字特征：
样本均值（，）； 样本方差 ）样本标准
样本阶原点矩，样本阶中心矩 2 ．统计量：样本的函数且不包含任
何未知数 3 ．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）
标准正态分布，若 且独立， ( 1 )分布 ，其中
，其中且独立； （ 3）分 则； ( 2 )分布
4 ．正态总体的抽样分 布 ，其中 性质
； （ 3 （ 1）； （2
，（ 5） （6）
且与独立； （ 4） 第七章
1）根据参数个数求总体的矩；（ 2）
参数估计 1 ．矩估计：
3）解方程求出矩估计 2 ．极大似然估计： 令总体的矩等于样本的矩；
2）求对数极大似然函数（ 3）求导数或偏导 1）写出极大似然函数；
数；（ 4）令导数或偏导数为 0，解出极大似然估计（如无解回到（ 1）直接 求最大值，一般为 min 或 max） 3 ．估计量的评选原则 ，则为无偏；
（2） 有效性：两个无偏估计中方差小的有效； （1） 无偏性：若 概率论与数理统计》期末试题（ 2）与解答 一、填空题 每小题 3分，共 15分） 1 ． 设事件仅发生一个的概率为 0.3 ，且， 生的概率为 2 ． 设随机变量服从泊松分布，且，则 3． 设随机变量在区间上服从
密度为 均匀分布，则随机变量在区间 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分
4． 布，
是来自 5． 设总体的概率密度为
解： 即 1． 的样本，则未知参数的极大似然估计量为
所以 .
由知 2．
．设的分布函数为的分布函数 因解得 ，故
为，密度为则 为，所以，即 故 在上函数 严格单调，反函数为 所以
另解
5．似然函数为 4．，故
解似然方程得的极大似然估计为 布
_____ ?
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1 ．设为三个事件，且相互独
立，则以下结论中不正确的是 （A）若，则与也独立. （B）若，则
（C）若，则 与也独立.与也独立 （D）若，则与也独立. （ ） 2 ．设随机变量的分布函数为，则的值为 （ A） . （ B） （ C） . （ D） . （ ） 3.设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是 （A）与独立. （ B） （ C） . （ D） . （ ） 4 ．设离散型随机变量和的 联合概率分布为 若独立，则的值为
（A）. （A） . . （ ） （C）
（D） 正.设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中 确的是 （A） X1是的无偏估计量. （B） X1是的极大似估计量. 然
（） （C） X1是的相合（一致）估计量.（D） X1不是的估计量. 独立， D解：1.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件 所
) 以（A）,（ B）,（ C）都是正确的，只能选（ 事实上由图 可见
2.所以 B) . 4 A与C不独立
有 （A）. 故应选（A） 5 2 .由不相关的等价条件知应选（
,9 X1是的无偏 .，所以 （7分）已知一批产品中 应选
估计，应选（A）. 三 90% 0.05 ，一个次0.02，求（1） 一个产品经检查后被认为是合
、 品被误认为是合格品的概率为
格品的概率；（2） —个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率
解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’ ‘任取一产品确 是合格品’ 则（1） （2） .
四、 （12分）从学校乘汽车到火车站的途中有 3 件是相互独立的，并且
概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期 望和方差. 解：的概率分布为
的分布函数为 即
匀分布.求（1）关于的边缘概 五、 （10分）设二维随机变量在区域
（1）的概率密度为 率密度；（2）的分布函数与概率密 （2）利用公式 其中
故的概率密度为 时 当或时
或利用 的分布函数为
分布函数法
六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标
互独立，且均服从分布.求（1）命中环形区域的概率；（2） 命中和纵坐标
点到目标中心距离
1）
七、（11分）设某机器生产的零件长
度（单位： Cm），今抽取容量16 样本，测得样本均值，样本方
为 求的置信度为差?区间；（2）检验假设（显著性水平为
（ 0.95 解：（1）的置信度为
（附注） 下的置信区间为 10.2132 ）1）
（20.05）. 所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868， 的
） 拒绝域为 ，
因为，所以接受 《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答
一、填空题（每小题
3 分，共 15 分） （ 1） 设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与 互不相容， ，，则事件、、中仅发生或仅 概率为 （2） 甲盒中 有 2 个白球和 3 个黑球，乙盒中有 3 个白球和 2 个黑球，今从每个盒中各取 个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为 （3） 设随机
变量的概率密度为 现对 察，用表示观察值不大于 0.5 的次 数，则 _______________ . （ 4） 设二维离散型随机变量的分布列为
若，则 （ 5） 设是总体的样本，是样本方差，若，
解（ 1 ） 因为 与不相容，与不相容， （注： , , , ）
： （ 2）设‘四个球是所以，故 同理 BB
一颜色的'， ‘四个球都是白球'， 同‘四个球都是黑球'
则 . 所求概率为
所以 （ 3） 其
中
（ 4 ） 的分布为 这是因为 ，由 得 ，故 （ 5）
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 即， 亦即 ■
（ 1 ）、为三个事件，且，则有 分） （ A） （ B） 设、 （ C） （ D） （ 2）设随机变量的概率密度为
且，则在下列各组数中应取 （ A） （B） （C） （D） （ 3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为 则有 （ ）） （ A） （ B）
, Λ 、 , 一、 t Z（ C） （ D） （ ） （ 4）对任意随机变量，若存在，
则等于 （ A） （ B） （ C） （ D） （）
（ 5）为正态总体的一个样表示样本均值，则的 置信度 设 本， 为的置信区间为 （ B） （ C）
（ ） （ D） 解 （ 1 ）由知，故 A）
（ 2） 应选 C. 即
时 故当 应选 （ 3） 应选
（ 4 ） 应选 （ 5） 因为方差已知，所以的置信区间为
应选 D. 三、（ 8 分）装有 10 件某产品（其中一等品 5 件，二等品 3 件，三等品 2 件）的 箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中 任取 2 件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 解： 设‘从箱中任取 2 件都是一等品' ‘丢失等号' .
则
； 所求概率为
四、（ 10 分）设随机变量的概率密度为 求（ 1）常 数； （2）的分布函数； （3） 解：（1） ???
（ 2）的分布函数为
（3） 五、（ 12分）设的概率密度为 求（ 1 ）边缘概率密度； （2）； （ 3）的概率密度
（ 2）
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