习题四
1.设随机变量X的分布律为
X 2 P
1 0 1
1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】(1) E(X)?(?1)??0?1111?1??2??; 28421212121522(2) E(X)?(?1)??0??1??2??;
82844(3) E(2X?3)?2E(X)?3?2?18·
1?3?4 22.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 ~ P 1 2 3 4 5 4233245C5C1C10C90C10C90C10C1C109010C9090?0.583 ?0.340 ?0.070 ?0.007 ?0 ?0 555555C100C100C100C100C100C100故 E(X)?0.583?0?0.340?1?0.070?2?0.007?3?0?4?0?5 ?0.501, D(X)?{
?[x?E(X)]P
2iii?05
?(0?0.501)2?0.583?(1?0.501)2?0.340?
?0.432.3.设随机变量X的分布律为 X P ?(5?0.501)2?0
1 0 1 p1 p2 p3 且已知E（X）=,E(X2)=,求P1，P2，P3. 【解】因P1?P2?P3?1……①,
又E(X)?(?1)P1?0P2?1P3?P3?P1?0.1……②,
22E(X2)?(?1)2P 1?0P2?1P3?P1?P3?0.9……③
{
由①②③联立解得P1?0.4,P2?0.1,P3?0.5.
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少
【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则
P(A)全概率公式?P{A|X?k}P{X?k}
k?0Nk1??P{X?k}?NN k?01n?E(X)?.NN5.设随机变量X的概率密度为
N?kP{X?k}k?0N
?x,0?x?1,?f（x）=?2?x,1?x?2,
?0,其他.?求E（X），D（X）. 【解】E(X)?]
?????xf(x)dx??xdx??x(2?x)dx
01122
123?13??2x? ??x???x???1.
3?1?3?0?E(X)??22????xf(x)dx??xdx??x2(2?x)dx?01221327 6故 D(X)?E(X)?[E(X)]?1. 66.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ4X. 【解】(1) E[U]?E(2X?3Y?1)?2E(X)?3E(Y)?1 ?2?5?3?11?1?44.
(2) E[V]?E[YZ?4X]?E[YZ]?4E(X) 因Y,Z独立E(Y)E(Z)?4E(X)
\\
2Y），
?11?8?4?5?68.
7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X
D（2X3Y）.
【解】(1) E(3X?2Y)?3E(X)?2E(Y)?3?3?2?3?3.
(2) D(2X?3Y)?2D(X)?(?3)DY?4?12?9?16?192. 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
22?k,0?x?1,0?y?x,f（x，y）=?
0,其他.?试确定常数k，并求E（XY）. 【解】因
??????????1x1f(x,y)dxdy??dx?kdy?k?1,故k=2
002E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy??xdx?2ydy?0.25.
001x9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
]
?e?(y?5),?2x,0?x?1,fX（x）=? fY（y）=?其他;?0,?0,求E（XY）.
【解】方法一：先求X与Y的均值 E(X)? E(Y)?y?5,
其他.2x2xdx?, ?031???5ye?(y?5)dy令z?y?55?e?zdz??0????0ze?zdz?5?1?6.
由X与Y的独立性，得
2E(XY)?E(X)E(Y)??6?4.
3 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为
?2xe?(y?5),0?x?1,y?5,f(x,y)?fX(x)fY(y)??
其他,?0,于是
'
120E(XY)????5?10xy2xe?(y?5)dxdy??2xdx???52ye?(y?5)dy??6?4.
310.设随机变量X，Y的概率密度分别为
?2e?2x,x?0,?4e?4y,fX（x）=? fY（y）=?x?0;?0,?0,求（1） E（X+Y）;（2） E（2X【解】(X)?3Y2）.
???2x??00y?0, y?0.?????xfX(x)dx???0x2e?2xdx?[?xe]?e-2xdx
概率论与数理统计课后答案 北邮版 (第四章)
