第七章 数列与数学归纳法
7.5 数学归纳法的应用
【课堂例题】
例1.求证恒等式：12?22?32?42?
例2.求证：当n?5时，2?n.
n2?(2n?1)2?(2n)2??n(2n?1)
例3.求证：3?1,n?N能被8整除.
例4.已知数列{an}中，a1?
(选用)例5.若一条直线上有n个点，求证：以这些点为端点的线段的条数是f(n)?
2n*11,Sn?n2an，运用数学归纳法证明：an?,n?N* 2n(n?1)n(n?1) 2第七章 数列与数学归纳法
7.5 数学归纳法的应用
【基础训练】
1.用数学归纳法证明凸n边形内角和等于(n?2)?180时，
n所取的第一个值应为 .
2.用数学归纳法证明：1?2?2?3?3?4?
3.数学归纳法证明1?2?22??n?(n?1)?n(n?1)(n?2)
3?25n?1,n?N*（n?N*）能被31整除时，
当n?1时，原式为 ，
从n?k到n?k?1时，需增添的项是_______________________.
4.用数学归纳法证明：?1?3?5?
5.设n?N*,f(n)?5n?2?3n?1?1，求证：f(n)能被8整除. 完成下列证明：
证：①当 时， . ②假设n?k时，命题成立，即f(k)能被8整除.
则n?k?1时，f(k?1)? ?4(5k?3k?1). 显然前者能被8整除，后者4(5k?3k?1)也必能被8整除，
理由是： . 根据①②，f(n)能被8整除对于一切n?N成立. 证毕
*?(?1)n(2n?1)?(?1)nn,n?N*
6.已知数列{an}满足a1?1，设该数列的前n项和为Sn，且Sn,Sn?1,2a1成等差数列，
2n?1*用数学归纳法证明：Sn?n?1,n?N
2
第七章 数列与数学归纳法
7.某同学解答“用数学归纳法证明n2?n?n?1,n?N*的过程如下： “证：①当n?1时，2?2显然命题成立.
②假设n?k时有k(k?1)?k?1，那么当n?k?1时，
(k?1)2?(k?1)?k2?3k?2?k2?4k?4?(k?1)?1，命题也成立.
根据①②可知，对于任何n?N，命题都成立. 证毕”
*问：错误理由是什么？正确的证法是什么？
【巩固提高】
8.用数学归纳法证明不等式：
9.已知恒等式：
22?an)2?a12?a2??an?2(a1a2?a1a3?(1)分别写出当n?2,3,4时的恒等式；
11??n?1n?2?113?,n?2 2n24(a1?a2??an?1an),(n?2,n?N*)
(2)用数学归纳法证明原恒等式.
第七章 数列与数学归纳法
(选用)10.以下2题任选一题.
(1)用数学归纳法证明：n3?5n,n?N*能被6整除. (2)数学归纳法证明1?n?2?(n?1)?3?(n?2)?
【温故知新】
11.已知数列{an}为2,4,7,11,16,22,，
则该数列的一个通项公式可以是 .
?n?1?n(n?1)(n?2),n?N*.
6第七章 数列与数学归纳法
【课堂例题答案】
例1.证：①当n?1时，等式显然成立； ②假设当n?k时，等式成立，即
12?22?32?42?当n?k?1时， 12?22?32?42?等式也成立；
?(2k?1)2?(2k)2??k(2k?1)
?(2k?1)2?(2k)2?(2k?1)2?(2k?2)2222??k(2k?1)?(2k?1)?(2k?2)??2k?5k?3??(k?1)[2(k?1)?1]根据①②，对于任意n?N，等式都成立. 证毕 例2.证：①当n?5时，2?5不等式显然成立； ②假设当n?k时，不等式成立，即
52*
2k?k2
当n?k?1时，
2k?1?2?2k?2k2?k2?k?k?k2?5k?k2?3k?k2?2k?k?k2?2k?1?(k?1)2
不等式也成立；
根据①②，对于任意n?5,n?N，不等式都成立. 证毕 例3.证：①当n?1时，3?1?8结论显然成立； ②假设当n?k时，结论成立，即
2*32k?1能被8整除； 当n?k?1时，
32(k?1)?1?9?32k?1?9(32k?1)?8显然能被8整除
结论也成立；
根据①②，对于任意n?N，结论都成立. 证毕 例4.证：①当n?1时，结论显然成立； ②假设当n?k时，结论成立，即
*1
k(k?1)当n?k?1时，
Sk?1Sk?ak?1k2ak?ak?1，则 ak?1???(k?1)2(k?1)2(k?1)2k2akk211 ak?1????[(k?1)2?1]k?(k?2)k(k?1)(k?1)(k?2)ak?结论也成立；
根据①②，对于任意n?N，结论都成立. 证毕 例5.证：①当n?1时，结论显然成立； ②假设当n?k时，结论成立，即
*k(k?1) 2当n?k?1时， f(k)?新增的1个点与原来的每一个点会组成一条新的线段，一共产生k条新线段，因此
f(k?1)?k(k?1)(k?1)k?k? 22
7.5 数学归纳法的应用(含答案)
