信号处理第八章z变换离散时间系统的z变换

第八章

z变换、离散时间系统的z变换 §8.1 引言 说明 §8.2 z变换的定义、典型序列的z变换 z变换的定义 五．正弦与余弦序列 §8.3 z变换的收敛域 §8.4 逆z变换 收敛域与原函数的对应 例8-4-1 例8-4-2 §8.5 z变换的基本性质 主要内容 同理 二．位移性 解续 例题 §8.7 用z变换解差分方程 序言 例8-7-1 原教材例7-10 2 b.由储能引起的零输入响应 c. 全响应 七．时域卷积定理 收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分 即 描述：两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域中两序列z变换的乘积。 注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点 相抵消，则收敛域可能扩大。 例8-5-7 解： 由Y z 求y n 八．z域卷积定理（自阅） 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 时域方法 z变换方法 差分方程经z变换→代数方程； 可以将时域卷积→频域（z域）乘积； 部分分式分解后将求解过程变为查表； 求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。 一．应用z变换求解差分方程步骤 1 对差分方程进行单边z变换（移位性质） 2 由z变换方程求出响应Y z 3 求Y z 的反变换，得到y n 一．步骤 解： 方程两端取z变换 例8-7-2 解： 已知系统框图 ?列出系统的差分方程. 求系统的响应y n 1 列差分方程，从加法器入手 ? 3 差分方程两端取z变换，利用右移位性质 2 a.由激励引起的零状态响应 零状态响应为 即 即 零输入响应为 3．极点决定部分

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分式形式 对一阶极点 例8-4-3 同理：B＝2 查表 右 右 右 左 左 左 高阶极点（重根） 例8-4-4 二．幂级数展开法 z变换式一般是z的有理函数，可表示为： 直接用长除法进行逆变换 （是一个z-1 的幂级数） 1．幂级数展开法 2．右边序列的逆z变换 3．左边序列的逆z变换 线性 位移性 序列线性加权 序列指数加权 初值定理 终值定理 时域卷积定理 z域卷积定理（自阅） 一．线性 a,b为任意常数。 ROC：一般情况下，取二者的重叠部分 某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。 表现为叠加性和均匀性） 例8-5-1 解： 已知 并且 例8-5-2 零极点相消，收敛域扩大为整个z平面 1.双边z变换 2.单边z变换 1 左移位性质 2 右移位性质 原序列不变，只影响在时间轴上的位置。 1．双边z变换的位移性质 2．单边z变换的位移性质 若x n 为双边序列，其单边z变换为 1 左移位性质 2 右移位性质 而左移位序列的单边z变换不变。 例8-5-3 解: 方程两边取z变换 带入边界条件 整理为 三．序列线性加权 z域微分 共求导m次 例8-5-4 解： 四．序列指数加权 同理 证明： （z域尺度变换） 例8-5-5 解： 收敛域： 同理： 五．初值定理 推理 x 1 ＝？ 理解 例8-5-6 解： 另外，因为分子比分母低一次，所以x 0 0。 六．终值定理 无 无 有，1 有，0 终值存在的条件 ??? 1 X z 的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值; 例： ，终值为0 2 若极点位于单位圆上，只能位于 ，并且是一阶极点. 注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件 只有第一条。 例：

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u n ，终值为1 * * * 求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； z变换的历史可是追溯到18世纪； 20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了z变换的发展； 70年代引入大学课程； 今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理 本章主要讨论： Z变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关系；利用z变换解差分方程； 利用z平面零极点的分布研究系统的特性。 一．引言 二．z变换的导出 抽样信号的拉氏变换→离散信号的z变换 对 取拉氏变换 三．对z变换式的理解 若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序 列） 存在的序列取z变换 一．单位样值函数 二．单位阶跃序列 三．斜变序列的z变换 已知 两边同时乘以z-1 ，可得 （用间接方法求） 同理可得 n是离散变量，所以对n没有微积分运算； z是连续变量，所以对z有微积分运算； 四．指数序列 1．右边序列 注意：z 变换相同时，左边序列的定义。 单边余弦序列 同理 收敛域的定义 两种判定法 讨论几种情况 一．收敛域的定义 收敛的所有z 值之集合为收敛域。 对于任意给定的序列x n ，能使 ROC:Region of convergence 不同的x n 的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z 变换，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。 二．两种判定法 1．比值判定法 若有一个正项级数， 则： ? 1：收敛 ? 1：可能收敛也可能发散 ? 1：发散 即令正项级数的一般项 的n次根的极限等于?， 则 ? 1：收敛 ? 1：可能收敛也可能发散 ? 1：发散 2．根

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值判定法 三．讨论几种情况 1．有限长序列的收敛域 2．右边序列

的收敛 3．左边序列的收敛 4．双边序列的收敛 所以，收敛域为 的z平面 例8-3-1 2．右边序列的收敛 ROC： 例8-3-2 若该序列收敛，则要求 即收敛域为： 3．左边序列的收敛 ROC: 例8-3-3 收敛域为： 4．双边序列的收敛 例8-3-4 ROC: 四．总结 ★x n 的收敛域（ROC）为 z 平面以原点为中心 的圆环； ★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）； ★有限长序列的ROC为整个 z 平

面 （可能除去z 0 和z ?）； ★右边序列的ROC为 的圆外； ★左边序列的ROC为 的圆内； ?★双边序列的ROC为 的圆环。 部分分式展开法 幂级数展开法 围线积分法――留数法 自学 一．部分分式展开法 1．z变换式的一般形式 2．求逆z变换的步骤

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