8-6 双曲线
课时规范练 A组 基础对点练
x2y2
1．(2018·新余摸底)双曲线2－2＝1(a≠0)的渐近线方程为( A )
a4aA．y＝±2x C．y＝±4x
1
B.y＝±x
2D.y＝±2x
2．(2018·开封模拟)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2
24→→
是C的两个焦点，若PF1·PF2＝0，则P到x轴的距离为( C ) 23A.
3C．2
B.2 26
3
x2y2
D.
解析：由题意知F1(－6，0)，F2(6，0)，不妨设l的方程为y＝2x，则可设P(x0，2x0)．由
PF1·PF2＝(－6－x0，－2x0)·(6－x0，－2x0)＝3x20－6＝0，
得x0＝±2，故P到x轴的距离为2|x0|＝2，故选C.
→→
x2y23．双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线C的离心率是( A )
abA.5 C．2
B.2 D.5 2
4．(2018·贵阳期末)已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为3.若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为3，则C的方程为( C ) A.－＝1 48C．x－＝1
2
2
x2y2
B.－＝1 48D.y－＝1
2
2
y2x2
x2
y2
1
解析：由题意可知，OM为Rt△MF1F2斜边上的中线，所以|OM|＝|F1F2|＝c.由M到原点的距
2离为3，得c＝3.又e＝＝3，所以a＝1，所以b＝c－a＝3－1＝2.故双曲线C的方程为x－＝1.故选C .
2
2
ca222
y2
1
x2y2
5．若双曲线C1：－＝1与C2：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为
28ab45，则b＝( B ) A．2 C．6
B.4 D.8
x2y2
6．(2018·德州模拟)在平面直角坐标系中，经过点P(22，－2)且离心率为3的双曲线的标准方程为( B ) A.－＝1
42C.－＝1 36
x2y2x2y2
B.－＝1 714D.
－＝1 147
x2y2
x2y2
82?b?2222
解析：由题意得e＝1＋??＝3，得b＝2a.当双曲线的焦点在x轴上时，有2－2＝1，解
a2a?a?得a＝7，b＝2a＝14，所以双曲线的标准方程为－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，
7148xy有2－2＝1，此方程无解，综上，双曲线的标准方程为－＝1，故选B . a2a7142
2
2
2
2
2
x2y2
x2y2
7．(2016·高考天津卷)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且双曲线的一条渐
ab近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( A ) A.－y＝1 43x3yC.－＝1 205
2
2
x2
2
B.x－＝1
43x3yD.－＝1 520
2
2
2
y2
8．若双曲线E：－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，
916则|PF2|等于( B ) A．11 C．5
B.9 D.3
x2y2
122
9．(2018·洛阳统考)若圆锥曲线C：x＋λy＝1的离心率为2，则λ＝ － .
3解析：由圆锥曲线C的离心率为2可知该曲线为双曲线，故曲线C的方程为－1
x2y2
－1
＝1，
λc2b211
所以a＝1，b＝－，所以e＝2＝1＋2＝1－＝4，解得λ＝－. λaaλ3
2
2
1
2
10．(2018·福州模拟)已知直线y＝kx－1和双曲线x－y＝1的右支交于不同两点，则k的取值范围是 (1，2) .
2
22
解析：由直线y＝kx－1和双曲线x－y＝1联立方程组，消y得(1－k)x＋2kx－2＝0. 因为该方程有两个不等且都大于1的根，
2222
??Δ＝4k＋81－k所以?k－>0，1－k??1－k＋2k－2
222
1－k≠0，
2
2
>0，
1－k2
>0，
解得1 y2x2 11．双曲线Γ：2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴 ab长等于__8__. x22 12．已知抛物线y＝8x与双曲线2－y＝1(a>0)的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF| a2 5 ＝5，则该双曲线的渐近线方程为 y＝±x . 3 B组 能力提升练 1．已知A，B分别为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( D ) A.5 C.3 B.2 D.2 x2y2 解析：设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在第一象限，则|AB|＝|BM|＝2a， ab∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，|BH|＝a，|MH|＝3a，所以M(2a，3a)．将 x2y2 点M的坐标代入双曲线方程2－2＝1，得a＝b，所以e＝2.故选D. abx2y2 2．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左，右焦点，点M在E上， abMF1与x轴垂直，sin ∠MF2F1＝，则E的离心率为( A ) A.2 C.3 3B. 2D.2 13 c2y2y2c2b2 解析：设F1(－c,0)，将x＝－c代入双曲线方程，得2－2＝1，所以2＝2－1＝2，所以yabbaab2 b21|MF1|ab2c2－a2cae1＝±.因为sin∠MF2F1＝，所以tan∠MF2F1＝＝＝＝＝－＝－＝ a3|F1F2|2c2ac2ac2a2c22e 3 222 ，所以e－e－1＝0，所以e＝2.故选A. 42 x2y2 3．设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂 ab线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( C ) 1A．± 2C．±1 B.± 2 2 D.±2 b2 解析：由题意，得A1(－a,0)，A2(a,0)，F(c,0)，将x＝c代入双曲线方程，解得y＝±，ab2b2b2－－22 aaabb????不妨设B?c，?，C?c，－?，则kA1B＝，kA2C＝，根据题意，有·＝－1， a?c＋ac－ac＋ac－a?a?? 整理得＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C. b2 abax2y2 4．(2018·广州调研)在平面直角坐标系xOy中，设F为双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的 ab右焦点，P为双曲线C的右支上一点，且△OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为( A ) A．1＋3 23C. 3 B.3 D.2＋3 3??1 解析：因为△OPF是正三角形，且|OF|＝c，所以P?c，±c?，把点P的坐标代入双曲线 2??2 c23c24222 的方程可得2－2＝1，化简得e－8e＋4＝0，解得e＝4＋23或e＝4－23(舍去)，所 4a4b以e＝1＋3.故选A . x2y2 5．设双曲线2－2＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点．已知原点到 ab直线l的距离为22A. 3C.3 解析：由题意得ab＝ 4 2 3c，则双曲线的离心率为( D ) 4 B.2 D.2 323 c，∴a2(c2－a2)＝c4， 416 整理得3e－16e＋16＝0， 422 解得e＝4或e＝. 3 4 又0 2 2 2 2 2 2 2 ∴e＝2. x2y2 6．过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若 ab△OAB的面积为A.C.5 213 2 13bc，则双曲线的离心率为( D ) 3 B.D.5 313 3 bc?bbc?c，解析：设A(x0，y0)，由题意，得x0＝c，代入渐近线方程y＝x中，得y0＝，即A?，a?aa??bc?12bc13bcc1313?同理可得B?c，－?，则××c＝.整理，得＝，即双曲线的离心率为. a?2a3a33? 故选D. x2y2 7．如图，F1，F2分别是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线 ab的左、右两支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( A ) A.7 23C. 3 B.4 D.3 解析：依题意得|AB|＝|AF2|＝|BF2|，结合双曲线的定义可得|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，|F1F2|122 ＝2c.根据等边三角形，可知∠F1BF2＝120°，应用余弦定理，可得4a＋16a＋2·2a·4a· 2＝4c，整理得＝7，故选A. 8．已知P是双曲线－y＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足 3→→ 分别为A，B，则PA·PB的值是( A ) 3A．－ 8C．－ 3 8 B.3 16 2 cax2 2 D.不能确定 5
新课标2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_6双曲线课时规范练文含解析新人教A版
