第5讲 用样本估计总体
1．(2019年新课标Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 2．(2016年山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图X9-5-1所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20), [20,22.5), [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
图X9-5-1
A．56 B．60 C．120 D．140
3．(2017年新课标Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图X9-5-2.
图X9-5-2
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．如图X9-5-3，茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
图X9-5-3
A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8
5．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为s2，则( )
A.x＝4，s2<2 B.x＝4，s2>2 C.x>4，s2<2 D.x>4，s2>2
6．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他
2
8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )
5
A．28 B．40 C．56 D．60 7．给出以下三幅统计图(图X9-5-4)及四个命题：
①从折线统计图能看出世界人口的变化情况； ②2050年非洲人口大约将达到15亿；
③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；
④从1974年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢． 其中命题正确的是( )
X9-5-4
图
A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 8．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有( ) A．①②③ B．①③ C．②③ D．①
9．(多选)2019年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图X9-5-5所示的频率分布直方图．下列结论正确的是( )
图X9-5-5
A．这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5 km/h
B．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80 km/h的概率为0.35
C．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为14 15
1
D．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60,65)内的概率为
3
10．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图X9-5-6所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表： 分数段/分 [50，70) [70，90) [90，110) [110，130) [130，150) 总计 频率 b 频率 a 0.25 (1)求表中a，b的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；
(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．
图X9-5-6
11．(2016年四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5), [0.5,1)，……[4,4.5]分成9组，制成了如图X9-5-7所示的频率分布直方图．
图X9-5-7
(1)求直方图中的a值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数．
12．(2019年新课标Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表. [0， [0.20， [0.40， [0.60， y的分组 [－0.20,0) 0．20) 0．40) 0．60) 0．80) 企业数/个 2 24 53 14 7 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：74≈8.602.
第5讲 用样本估计总体
1．A 解析：7个有效评分与9个原始评分相比，平均数，方差，极差都有可能变化，不变的数字特征是中位数．
2．D 解析：由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有200×(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝140(人)．故选D.
3．A 解析：观察折线图，每年8月到9月折线图呈下降趋势，月接待游客减少，选项A错误；
折线图整体呈现增长的趋势， 年接待游客量逐年增加，选项B正确； 每年的接待游客量7,8月份达到最高点，即各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月， 选项C正确；
各年1月至6月的折线图平稳，7月至12月折线图不平稳，说明各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故选项D正确．
4．C 解析：∵甲组数据的中位数为15＝10＋x，∴x＝5.
9＋15＋?10＋y?＋18＋24
又乙组数据的平均数为＝16.8，∴y＝8.
5
∴x，y的值分别为5,8.故选C.
^7×4＋4
5．A 解析：易知x＝＝4，
8
1
s2＝[(x1－4)2＋(x2－4)2＋…＋(x7－4)2＋(4－4)2]
81
<[(x1－4)2＋(x2－4)2＋…＋(x7－4)2]＝2. 7
55
6．B 解析：设中间一个小长方形面积为x，其他8个长方形面积为x，因此x＋x＝1，
22
22
∴x＝.∴中间一组的频数为140×＝40.故选B.
77
7．B 解析：①显然正确；从条形统计图可得到，2050年非洲人口大约将达到18亿，②错；从扇形统计图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，③正确；由上述三幅统计图并不能得出1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误．
8．B 解析： 由统计知识，①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22 ℃，∴不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若某一天的气温低于22 ℃，则总体方差就大于10.8，∴满足题意．故选B.
9．ABC
10．解：(1)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人， ∴a＝0.1，b＝3.
∵成绩在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴成绩在[90,110)范围内的样本数为20×0.4＝8， 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为 p＝1－0.1－0.25＝0.65.
(2)一切可能的结果组成的基本事件空间为 Ω＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)}，共21个基本事件，
设事件A＝“取出的两个样本中数字之差小于或等于10”， 则A＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)}，共10个基本事件，
2021届高考数学一轮复习训练第5讲用样本估计总体
