4-5 简单的三角恒等变换
π12
1.(文)(2011·福建文，9)若α∈(0，)，且sinα＋cos2α＝，则tanα的值等于( )
24A.
23
B. C.2 D.3 23
[答案] D
[解析] sinα＋cos2α＝sinα＋cosα－sinα 12
＝cosα＝，
4
2
2
2
2
π13
∵α∈(0，)，∴cosα＝，sinα＝，
222
∴tanα＝3.
(理)(2011·陕西宝鸡质检)设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα的值为( )
A．2 B.3 C．1 D.[答案] C
[解析] 由已知得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，所以cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)，因为β为锐角，所以sinβ＋cosβ≠0，所以sinα＝cosα，即tanα＝1，故选C.
5π1θ2．(文)设<θ<3π，且|cosθ|＝，那么sin的值为( )
252A.
1010 B．－ 55
1515
D. 55
3
3
C．－
[答案] C
5π1
[解析] ∵<θ<3π，∴cosθ<0，∴cosθ＝－.
25∵
5πθ3πθ<<，∴sin<0， 4222
2
又cosθ＝1－2sin
θ2
，∴sin
2
θ1－cosθ3
2＝2
＝，
5
θ15∴sin＝－.
25
4
(理)已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为( )
5A.
1010 B．－ 1010310
10
310D．－
10
C.
[答案] C
παα[解析] 设该等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有α＋2β＝π，β＝－，0<
222π
<， 2
∵2cos
2
απαα－1＝cosα，∴sinβ＝sin(－)＝cos＝2222cosα＋1310
＝，故选C. 210
3．在△ABC中，A、B、C成等差数列，则tan＋tan＋3tan·tan的值是( )
2222A．±3 B．－3 C.3 D.[答案] C
[解析] ∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C， π2π
又A＋B＋C＝π，∴B＝，A＋C＝，
33∴tan＋tan＋3tan·tan 2222
3
3
ACACACAC????＝tan?＋??1－tan·tan?＋3tantan 22?22?22??
＝3，故选C.
4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos，则△ABC是( )
2A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形
D．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B
[解析] ∵sinAsinB＝cos，
2
2
2
ACACACCC
11
∴[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝(1＋cosC)， 22∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC， ∴cos(A－B)＝1，
∵－π 122 5．若cos(x＋y)cos(x－y)＝，则cosx－siny等于( ) 31A．－ 32C．－ 3[答案] B [解析] ∵cos(x＋y)cos(x－y)＝(cosxcosy－sinxsiny)·(cosxcosy＋sinxsiny)＝cosxcosy－sinxsiny＝cosx(1－siny)－(1－cosx)·siny＝cosx－cosxsiny－siny＋cosxsiny＝cosx－siny，∴选B. ππ2 6．(2011·天津蓟县模拟)函数f(x)＝cosx＋3sinxcosx在区间[－，]上的最大值 43为( ) 11＋3A. B. 223C．1 D. 2[答案] D 1＋cos2x3 [解析] f(x)＝＋sin2x 22π?1?＝sin?2x＋?＋ 6?2? ππππ5π ∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤， 43366∴－ π?3?≤sin?2x＋?≤1， 6?2? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1B. 32D. 3 3 ∴f(x)的最大值为. 2 1α7．(2010·安徽省两校三地模拟)已知：sinα＋cosα＝，0<α<π，则cos＝________. 52[答案] 5 5
2013高考数学 课后作业 4-5 简单的三角恒等变换
