概率论 习题四 答案
1.设随机变量X的分布律为
X P ??1 0 1 2 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】(1) E(X)?(?1)??0?1111?1??2??; 28421212121522(2) E(X)?(?1)??0??1??2??;
828441(3) E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4
2182.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 1 59051004C110C90?0.3405?0.583 C1002 23C10C90?0.0705C1003 32C10C90?0.0075C1004 41109051005 P CC5C10CC?05?0 C100C 故 E(X)?0.583?0?0.340?1?0.070?2?0.007?3?0?4?0?5 ?0.501, D(X)??[x?E(X)]P
2iii?05
?(0?0.501)2?0.583?(1?0.501)2?0.340?L?(5?0.501)2?0?0.432.??1 0 1 p1 p2 p3
3.设随机变量X的分布律为 X P 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求p1,p2,p3. 【解】因p1?p2?p3?1……①,
又E(X)?(?1)p1?0gp2?1gp3?p3?p1?0.1……②,
E(X2)?(?1)2gp1?02gp2?12gp3?p1?p3?0.9……③
由①②③联立解得p1?0.4,p2?0.1,p3?0.5.
1
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白
球的概率是多少？
【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则
P(A)全概率公式?P{A|X?k}gP{X?k}
k?0Nk1??P{X?k}?NN k?01n?gE(X)?.NN5.设随机变量X的概率密度为
N?kP{X?k}k?0N
?x,0?x?1,?f（x）=?2?x,1?x?2,
?0,其他.?求E（X），D（X）. 【解】E(X)??????xf(x)dx??x2dx??x(2?x)dx
01123?13??2x? ??x???x???1.
3?1?3?0?12E(X2)??2????x2f(x)dx??x3dx??x2(2?x)dx?012127 6故 D(X)?E(X)?[E(X)]?1. 66.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ??4X.
【解】(1) E[U]?E(2X?3Y?1)?2E(X)?3E(Y)?1 ?2?5?3?11?1?44.
(2) E[V]?E[YZ?4X]?E[YZ]?4E(X) 因Y,Z独立E(Y)gE(Z)?4E(X)
?11?8?4?5?68. 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X??2Y），
D（2X??3Y）. 【解】(1) E(3X?2Y)?3E(X)?2E(Y)?3?3?2?3?3.
22(2) D(2X?3Y)?2D(X)?(?3)DY?4?12?9?16?192.
2
8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=?试确定常数k，并求E（XY）. ?k,0?x?1,0?y?x,
其他.?0,【解】因
??????f(x,y)dxdy??1x1????0dx?0kdy?2k?1,故k=2
E(XY)??????x?????xyf(x,y)dxdy??10xdx?02ydy?0.25.
9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
f?2x,0?x?1,X(x)???0,其它; fy)???e?(y?5),y?5,Y(0, ?其它.求E(XY).
【解】方法一：先求X与Y的均值 E(X)??120xg2xdx?3, E(Y)????(y?5)5ye?dy令z?y?55???e?zdz??z0??0ze?dz?5?1?6.
由X与Y的独立性，得
E(XY)?E(X)gE(Y)?23?6?4.
方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为
f(x,y)?f)???2xe?(y?5),0?x?1,y?5,X(x)gfY(y
?0,其他,于是
E(XY)????15?1(y?5)0xyg2xe?dxdy??2x2???(y?5)0dxg?5yedy?23?6?4.10.设随机变量X，Y的概率密度分别为
?2e?2xf)=?,x?0, f?4e?4y,y?0,X(x?0,x?0;Y(y)=??0,y?0. 求（1） E(X?Y);（2） E(2X?3Y2).
【解】E(X)????????xfX(x)dx??0xg2e?2xdx?[?xe?2x]????0??0e-2xdx
????2x0e?dx?12.
E(Y)??????yfY(y)dy????0yg4e?4ydy?14.
E(Y2)????2????yfY(y)dy??0y2g4e?4ydy?242?18. 3
概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后标准答案
