2019届中考数学专题复习讲义 分类讨论
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的． 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．
类型之一 直线型中的分类讨论
直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.
1．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
2.某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
3.如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.
类型之二 圆中的分类讨论
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等． 4.在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径 所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．
cosB?5.在△ABC中，AB=AC=5，
35．如果圆O的半径为10，且经过点B、C，那么
线段AO的长等于 ．
6.如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．
（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式； （2）问点A出发后多少秒两圆相切？
类型之三 方程、函数中的分类讨论 方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况. 7.已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．
（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；
（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．
8.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． （1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，
则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。故顶角可能是50°或80°. 【答案】D .
2.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm，底边长是6cm时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm，地边长是3cm时能组成三角形． 【答案】D
B?F?BF，?B?FE??BFE，3.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，从而可求得B′E=BF；
第(2)小题要注意分类讨论.
【答案】（1）证：由题意得B?F?BF，?B?FE??BFE， 在矩形ABCD中，AD∥BC，??B?EF??BFE， ??B?FE??B?EF，
?B?F?B?E．?B?E?BF．
（2）答：a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况：
222（ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a?b?c．
证：连结BE，则BE?B?E． 由（1）知B?E?BF?c，?BE?c．
222在△ABE中，?A?90，?AE?AB?BE．
AE?a，AB?b，?a2?b2?c2．
（ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a?b?c．证：连结BE，则BE?B?E．
由（1）知B?E?BF?c，?BE?c．在△ABE中，AE?AB?BE， ?a?b?c． 4.【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。 【答案】 3＜r≤4或r＝2.4
5.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5，
cosB?35，可得BC边上的高AD为4，圆O经过点B、C则O必在直线AD上，若O在BC上
方，则AO=3，若O在BC下方，则AO=5。 【答案】3或5．
6.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论. 【答案】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t； 当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t -11． （2）两圆相切可分为如下四种情况：
①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；
11②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝3； ③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；
④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13．
11所以，点A出发后3秒、3秒、11秒、13秒两圆相切．
7.【解析】建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似”，一定要注意分类讨论。 【答案】（1）取AB中点H，联结MH，
M为DE的中点，?MH∥BE，
MH?1(BE?AD)2．
11ABMHy?x?2(x?0)22，得；
又
AB?BE，?MH?AB．
?S△ABM?22DE?(x?4)?2（2）由已知得．
以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，
?MH?1111AB?DE(x?4)??2?(4?x)2?22??． 222?，即2443，即线段BE的长为3；
x?解得
（3）由已知，以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似， 又易证得?DAM??EBM．
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①?ADN??BEM；②?ADB??BME． ①当?ADN??BEM时，
AD∥BE， ??ADN??DBE．??DBE??BEM．
?DB?DE，易得BE?2AD．得BE?8；
②当?ADB??BME时，
AD∥BE， ??ADB??DBE．
??DBE??BME．又?BED??MEB， ?△BED∽△MEB．
?DEBE1222?x?2?(x?4)BEEM，即BE2?EMDE，得222?(x?4)2．
解得
x1?2，x2??10（舍去）
．即线段BE的长为2．
综上所述，所求线段BE的长为8或2．
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