什么时候你来到我身边巧用分式方程的增根解决问题
一、解分式方程的步骤：
二、分式方程增根的概念：
在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根。
三、产生增根的原因：
增根是在分式方程转化为整式方程去分母的过程中产生的。因为等号两边同乘以的最简公分母有可能是0，因此就有可能产生满足整式方程，但是不满足分式方程的根。注意：1. 解分式方程必须要验根；
2. 验根时只需要把求出的x的值代入最简公分母中，看是否为0。
四、常见的题型：1. 求增根问题：
方法是把分式方程去分母后求得的根代入原方程的最简公分母，若为零是增根，若不为零是原方程的根。
2. 根据增根求待定系数问题：
步骤：①去分母，化分式方程为整式方程；
1
什么时候你来到我身边②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值。
例题1 若关于x的方程
ax?1?1?0有增根，则a的值为__________。x?1解析：首先去分母化整式方程，然后把增根代入求出a,答案：原方程可化为：?a?1?x?2?0 ①又原方程的增根是x?1，把x?1代入①，得：a??1故应填“?1”。
点拨：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值。
x?1x?22x2?ax例题2 当a取何值时，解关于x的方程：无增根？??x?2x?1?x?2??x?1?解析：首先去分母化整式方程，然后把增根代入求出a,最后从保证整式方程有实根的a的取值范围中把产生增根的a的值去掉。
答案：原方程可化为：
2x2?ax?3?0 ①
又原方程的增根为x=2或x??1，把x=2或x??1分别代入①得：
a??5或a??122又由??a?24?0知，a可以取任何实数。所以，当a??5且a??1时，解所给方程无增根。2点拨：解答此类问题的基本思路是：（1）将已知方程化为整式方程；
（2）由所得整式方程，求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围；
（3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。
例题3 当k的值为_________（填出一个值即可）时，方程
xk?2x?2只有一个实数根。x?1x?x解析：先化成整式方程（即一元二次方程）分两种情况：（1）一元二次方程有两个相等实根。
2
什么时候你来到我身边（2）有两个不等实根，且有一个是增根。
答案：原方程可化为：x?2x?k?0 ①要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：
（1）当方程①有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由??4?4k?0得k=－1。当k=－1时，方程①的根为x1?x2??1，符合题意。
（2）方程①有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由??4?4k?0，得
2k>－1。又原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入①得k=0，或k=3，均符合题意。
综上所述：可填“－1、0、3”中的任何一个即可。点拨：本题要分清方程的增根和方程无根的区别。
分式方程无解是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等。它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解。
2ax3?2?例题 （1）当a为何值时，关于x的方程①会产生增根？x?2x?4x?22ax3??（2）当a为何值时，关于x的方程①无解？x?2x2?4x?2解析：（1）首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值。
（2）除了考虑第（1）种情况外，此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10本身无解的情况。
答案：（1）方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10 ②
若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根，把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6。
（2）方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：
①当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
②如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解。此时由（1）可知，a＝－4或6。
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什么时候你来到我身边综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解。
点拨：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义。
（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. （岳阳）关于x的分式方程
7x?1?3?mx?1有增根，则增根为（ ）A. x=1 B. x=－1
C. x=3
D. x=－3
2. 若分式方程3x?1?mx2?4?x?2有增根，则它的增根是（ ）
A. 1
B. 2或－2 C. －2 D. 2
3. 若方程
4x2?2x?xx?2?0有增根，则增根可能是（ ）
A. 0或2 B. 0 C. 2
D. 1
4. 若解关于x的方程
3x?ax?3x?1?2有增根x=－1，则a的值为（ ） A. 3 B. －3
C. 3或1
D. －3或－1
5. 下列关于分式方程增根的说法，正确的是（ ） A. 使所有的分母的值都为零的解是增根 B. 分式方程的解为零就是增根 C. 使分子的值为零的解就是增根
D. 使最简公分母的值为零的解是增根
6. 关于x的方程
x?2x?3?mx?3产生增根，则m的值及增根x的值分别为（ ） A. m=－1，x=－3 B. m=1，x=－3
C. m=－1，x=3
D. m=1，x=3
二、填空题
7. （天水）若关于x的方程
ax?1x?1?1?0有增根，则a的值为____________。8. （巴中）若分式方程
xx?1?m1?x?2有增根，则这个增根是____________。9. 若方程
x?mx2?4?m2?x?2有增根x=2，则m=____________。4
什么时候你来到我身边三、解答题
10. 若关于x的方程
kx?4?2?有增根，试解关于y的不等式5（y－2）≤28+k+2y。x?33?x11. 增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值。
阅读以上材料后，完成下列探究：探究1：m为何值时，方程
3xm有增根。?5?x?33?x3xm?5?的根是－1。x?33?x3xm的三个根中两个根之和等于第三?5?x?33?x探究2：m为何值时，方程
探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程个根。
探究4：你发现满足“探究3”条件的m1、m2、m3的关系是 _________ 。12. 李明在解关于x的方程
xx?m2x时，把m的值看错了。解方程产生了增根，请?2?x?2x?4x?2你指出李明把m看成了几？为什么？
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八年级数学上册-专题突破讲练-巧用分式方程的增根解决问题试题-(新版)青岛版
