第三章 导数及其应用
第一讲 导数的概念及运算
1.下列说法正确的是
(1)f ' (x)与f ' (x0)(x0为常数)表示的意义相同.
(2)在曲线y=f (x)上某点处的切线与曲线y=f (x)过某点的切线意义相同. (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (5)(sin )' =cos . (6)(3x)' =3xlog3e. (7)(log2x)' =
1. ??·ln2π3
π3
( )
A.(1)(2)(3)(5)(7) B.(4)(5)(7)
C.(3)(7) D.(6)(7)
2.某质点的位移s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数是s=2t 3 - gt 2(g=10 m/s2),则当t=2 s时,它的加速度是
A.14 m/s2 B.4 m/s2
C.10 m/s2 D. - 4 m/s2
π
212
( )
3.设正弦函数y=sin x在x=0和x=附近的平均变化率分别为k1,k2,则k1,k2的大小关系为 A.k1>k2 B.k1 4.[2019全国卷Ⅰ,13,5分][理]曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 . 5.[2018全国卷Ⅲ,14,5分][理]曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为 - 2,则a= . 6.[2018天津,10,5分]已知函数f (x)=exln x,f '(x)为f (x)的导函数,则f '(1)的值为 . 1?? ( ) 7.[2015陕西,15,5分][理]设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 . 考法1导数的运算 1求下列函数的导数: (1)y=(x+1)(x+2)(x+3); (2)y=sin(1 - 2cos2)； (3)y=ln 2??-11 (x>). 2??+12??2??4 把已知函数式进行化简→利用导数公式进行求导 (1)因为y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, 所以y' =3x2+12x+11. (2)因为y=sin( - cos)= - sinx, 所以y' =( - sinx)' = - (sinx)' = - cosx. (3)y'=(ln 2??-1112 )'=[ln(2x - 1) - ln(2x+1)]'=[ln(2x - 1)]' - [ln(2x+1)]'=·(2x - 1)' - ·(2x+1)'= ?2??+12??-12??+12??-1 1 21212??2 ??2 12 24=. 2??+14??2-1 2若函数f (x)=ln x - f ' (1)x2+3x - 4,则f ' (3)= . 先求出f ' (1),得出导函数的解析式,再把x=3代入导函数的解析式得f ' (3). 对f (x)求导,得f ' (x)= - 2f ' (1)x+3,所以f ' (1)=1 - 2f ' (1)+3,解得f ' (1)=,所以f ' (x)=? x+3,将x=3代入f ' (x),可得f ' (3)= - 14. 3 1?? 43 1?? 83 1.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f (x)=x(x - a1)(x - a2)…(x - a8),则f ' (0)= A.26 B.29 C.212 D.215 ( ) 考法2导数的几何意义的应用 3(1)[2019全国卷Ⅱ,10,5分]曲线y=2sin x+cos x在点(π, - 1)处的切线方程为 A.x - y - π - 1=0 B.2x - y - 2π - 1=0 C.2x+y - 2π+1=0 D.x+y - π+1=0 (2)[2019全国卷Ⅲ,6,5分][理]已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 A.a=e,b= - 1 B.a=e,b=1 C.a=e - 1,b=1 D.a=e - 1,b= - 1 (3)[2019江苏,11,5分]在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点( - e, - 1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 . (1)先求得相应函数的导数,再依据导数的几何意义得出所求切线的斜率,最后由直线的点斜式方 程求解.(2)先求出切线方程,然后与已知的切线方程对比得出关于参数的方程组,解之即可.(3)设出点A的坐标,先求出切线方程,然后将( - e, - 1)代入求解即可. (1)依题意得y' =2cosx - sinx,y' | ??=π=(2cosx - sinx)| ??=π=2cosπ - sinπ= - 2, 因此所求的切线方程为y+1= - 2(x - π), 即2x+y - 2π+1=0.故选C. (2)因为y' =aex+lnx+1, 所以y' | ??=1=ae+1, 所以曲线在点(1,ae)处的切线方程为y - ae=(ae+1)(x - 1),即y=(ae+1)x - 1, 所以{ -1??e+1=2, 解得{??=e,故选D. ??=-1,??=-1. (3)设A(x0,lnx0),又y' =, 则曲线y=lnx在点A处的切线方程为y - lnx0=(x - x0), 将( - e, - 1)代入得, - 1 - lnx0=( - e - x0),化简得lnx0=,解得x0=e,则点A的坐标是(e,1). 2.(1)[2019石家庄市质检]将函数y=ex(e为自然对数的底数)的图象绕坐标原点O顺时针旋 转角θ后第一次与x轴相切,则角θ满足的条件是( ) A.esin θ=cos θ C.esin θ=1 B.sin θ=ecos θ D.ecos θ=1 1 ??0 e??0 1??0 1??(2)[2016全国卷Ⅱ,16,5分][理]若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则 b= . 274 易错1混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误 4若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y=x3 - 3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值为 A.1 B. C.1或 D.1或 - 164 164 1 64 求解时易因没有对点(0,0)是否为切点进行分析,误认为是切点而出错. 易知点O(0,0)在曲线y=x3 - 3x2+2x上. (1)当O(0,0)是切点时, 由y' =3x2 - 6x+2,得y' |x=0=2, 即直线l的斜率为2,故直线l的方程为y=2x. ??=2??,由{得x2 - 2x+a=0, ??=??2+??,依题意知Δ=4 - 4a=0,得a=1. (2)当O(0,0)不是切点时, 322 设直线l与曲线y=x3 - 3x2+2x相切于点P(x0,y0),则y0=??0 - 3??0+2x0,k=y' |??=??0=3??0 - 6x0+2 ①, 又k= ??0??0 2 =??0 - 3x0+2 ②, 所以联立①②,得x0=(x0=0舍去),所以k= - , 故直线l的方程为y= - x. 由{??=-??, 得x2+x+a=0, 42??=??+??, 1 4 1 143214 依题意知Δ= - 4a=0,得a=. 综上,a=1或a=. C 素养探源 核心素养 考查途径 按点O是否为曲线切点进行分类讨论,命题的等价转换. 素养水平 二 一 数学运算 导数运算、解方程. 逻辑推理 164 116164 易错警示 1.求解曲线的切线方程问题,关键是对曲线的函数的求导,因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握. 2.对于已知的点,应先确定其是不是曲线的切点. (1)“过点A的曲线的切线方程”与“曲线在点A处的切线的方程”是不相同的,后者A必为切点,前者A未必是切点; (2)曲线在某点处的切线若有则只有一条,曲线过某点的切线往往不止一条; (3)曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.而直线与二次函数对应的曲线相切只有一个公共点. 易错2 复合函数的求导中错用法则致误 5设函数f (x)=cos(√3x+φ),其中常数φ满足 - π<φ<0.若函数g(x)=f (x)+f ' (x)(其中f ' (x)是函数 f (x)的导数)是偶函数,则φ等于 A. - π 3 B. - 5π 6 C. - π6 D. - 2π 3 π3 由题意得g(x)=f (x)+f ' (x)=cos(√3x+φ) - √3sin(√3x+φ)=2cos(√3x+φ+). . (注意两角和的余弦公式 的应用) 因为函数g(x)为偶函数, 所以φ+=kπ,k∈Z,解得φ=kπ - ,k∈Z. 又 - π<φ<0,所以φ= - . A 素养探源 核心素养 考查途径 素养水平 一 一 数学运算 导数运算、解方程. 逻辑推理 命题间的等价转换. π 3π3 π3 易错警示 本题在对复合函数求导时,易错用导数的运算法则而致误,避开易错点的关键是选择中间变量,复合函数f (g(x))的导数和函数y=f (u),u=g(x)的导数间的关系为y' =yu' ·ux' =f ' (u)·g' (x),即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.求导时需要记住中间变量,注意从外层开始由外及里逐层求导. 322 1.C 由导数的概念、几何意义及导数公式可得(3)(7)正确. 2.A 由质点在时刻t的速度v(t)=s' (t)=6t2 - gt,加速度a(t)=v' (t)=12t - g,得当t=2 s时,a(2)=v' (2)=12×2 - 10=14(m/s2). 3.A ∵y=sin x,∴y' =(sin x)' =cos x.k1=cos 0=1,k2=cos=0,∴k1>k2. 2π 4.y=3x 因为y' =3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,所以曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线的斜率 k=′,所以所求的切线方程为y=3x. 5. - 3 y' =(ax+1+a)ex,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为 - 2,得y' |x=0=(ax+1+a)ex|x=0=1+a= - 2,所以a= - 3. 6.e 由题意得f ' (x)=exln x+ex·,则f ' (1)=e. ??1 7.(1,1) y' =ex,则曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k切=1,又曲线y=(x>0)上点P处的切线与曲线y=ex?? 1 在点(0,1)处的切线垂直,所以曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率为 - 1,设P(a,b)(a,b>0),则曲线y=(x>0) ?? ?? 11 上点P处的切线的斜率为′= - a - 2= - 1,可得a=1,又P(a,b)在曲线y=上,所以b=1,故P(1,1). ?? 1 1.C 因为f ' (x)=x' [(x - a1)(x - a2)…(x - a8)]+[(x - a1)·(x - a2)…(x - a8)]' x=(x - a1)(x - a2)…(x - a8)+[(x - a1)(x - a2)…(x - a8)]' x,所以 f ' (0)=(0 - a1)(0 - a2)…(0 - a8)+0=a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列,所以a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,所以f ' (0)=84=212.故选C. 2.(1)B 由题意得x轴绕坐标原点O逆时针旋转角θ后第一次与y=ex的图象相切,设切点为(x0,e??0),∵y' =ex,∴ e??0??0 =e??0,∴x0=1,∴tan θ=e, ∴sin θ=ecos θ,故选B. (2)1 - ln 2 设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2的切点为(x1,ln x1+2),与曲线y=ln(x+1)的切点为(x2,ln(x2+1)). 则切线方程分别为y - ln x1 - 2=(x - x1),y - ln(x2+1)= ??1 ??2??2+1 1 1??2+1 (x - x2),化简得y=x+ln x1+1,y= ??1 11 ??2+1 x - +ln(x2+1), 1 依题意,得{ ??1 = 1??2+1 , ??2??2+1 ln??1+1= - 解得x1=,从而b=ln x1+1=1 - ln 2. 2+ln(??2+1), 1
2021届课标版高考理科数学一轮复习教师用书：第三章第一讲 导数的概念及运算
