2024年中考数学压轴题专项训练：二次函数
1．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣n（n＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．
（1）若AB＝4，求n的值；
（2）如图，若△ABC为直角三角形，求n的值；
（3）如图，在（2）的条件下，若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）当y＝0时， x2﹣x﹣n＝0， 解得：x1＝∴点A的坐标为（∵AB＝4， ∴
﹣
＝4， ，x2＝
，
，0），点B的坐标为（
，0）．
整理，得：9+8n＝16， 解得：n＝．
（2）当x＝0时，y＝x2﹣x﹣n＝﹣n， ∴点C的坐标为（0，﹣n）． ∵△ABC为直角三角形， ∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°， ∴∠ACO＝∠CBO．
又∵∠AOC＝∠COB＝90°， ∴△AOC∽△COB， ∴
＝
，
?
＝n2，
∴OA?OB＝OC2，即﹣整理，得：n2﹣2n＝0，
解得：n1＝0（舍去），n2＝2．
（3）由（2）可知，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝．
设点P的坐标为（m， m2﹣m﹣2），分两种情况考虑，如图2所示： ①若BC为边，当四边形BCP1Q1为平行四边形时， ﹣m＝4﹣0，解得：m＝﹣， ∴点P1的坐标为（﹣，
）；
当四边形BCQ2P2为平行四边形时，
m﹣＝4﹣0，解得：m＝
∴点P2的坐标为（
，
， ）．
②若BC为对角线，设BC，P3Q3的交点为M， ∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2）， ∴点M的坐标为（2，﹣1）， ∴+m＝2×2，解得：m＝， ∴点P3的坐标为（，﹣
）．
综上所述：存在以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为（﹣，），（
，
）或（，﹣
）．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）交直线y＝kx+n（k＞0）于A（1，1），B两点，交y轴于点C，直线AB交y轴于点D．已知该抛物线的对称轴为直线x＝． （1）求a，b的值；
（2）记直线AB与抛物线的对称轴的交点为E，连结CE，CB．若△CEB的面积为
，求
k，n的值．
2024年中考数学压轴题专项训练：二次函数(附解析)
