高等数学第六版上册课后习题答案
第一章
习题1?1
1? 设A?(?? ?5)?(5? ?)? B?[?10? 3)? 写出A?B? A达式?
解 A?B?(??? 3)?(5? ?)? AB?[?10? ?5)? A\\B?(??? ?10)?(5? ?
)?
B)C?AC ?BC ? x
AC或x
BC
x
AC
B? A\\B及A\\(A\\B)的表
A\\(A\\B)?[?10? ?5)?
2? 设A、B是任意两个集合? 证明对偶律? (A 证明 因为
x(AB)Cx?AB x?A或x?B?BC?
所以 (AB)C?AC ?BC ?
3? 设映射f ? X ?Y? AX? B
X ? 证明
(1)f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)f(AB)f(A)f(B)? 证明 因为
yf(A?B)x?A?B? 使f(x)?y
(因为x?A或x?B) yf(A)或yf(B) yf(A)?f(B)? 所以 f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)因为
yf(AB)x?AB? 使f(x)?y(因为x?A且x?B) y y f(A)所以 f(A
f(B)? B)f(A)
f(B)?
f(A)且yf(B)
4? 设映射f ? X?Y? 若存在一个映射g? Y?X? 使g?f?IX? f?g?IY? 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射? 即对于每一个xX? 有IX x?x? 对于每一个y有IY y?y? 证明? f是双射? 且g是f的逆映射? g?f ?1?
Y?
证明 因为对于任意的yY? 有x?g(y)X? 且f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 即Y中任意元素都是X中某元素的像? 所以f为X到Y的满射?
又因为对于任意的x1?x2? 必有f(x1)?f(x2)? 否则若f(x1)?f(x2)g[ f(x1)]?g[f(x2)] x1?x2?
因此f既是单射? 又是满射? 即f是双射?
对于映射g? Y?X? 因为对每个yY? 有g(y)?xX? 且满足f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 按逆映射的定义? g是f的逆映射? 5? 设映射f ? X?Y? AX ? 证明?
(1)f ?1(f(A))?A?
(2)当f是单射时? 有f ?1(f(A))?A ? 证明 (1)因为xA f(x)?yf(A) f ?1(y)?xf ?1(f(A))? 所以 f ?1(f(A))?A?
(2)由(1)知f ?1(f(A))?A?
另一方面? 对于任意的xf ?1(f(A))存在yf(A)? 使f ?1(y)?xf(x)?y ? 因为yf(A)且f是单射? 所以xA? 这就证明了f ?1(f(A))A? 因此f ?1(f(A))?A ? 6? 求下列函数的自然定义域? (1)y?3x?2?
解 由3x?2?0得x??2? 函数的定义域为[?2, ??)?
33 (2)y?12?
1?x 解 由1?x2?0得x??1? 函数的定义域为(?? ?1)?(?1? 1)?(1? ?)? (3)y?1?1?x2?
x 解 由x?0且1?x2?0得函数的定义域D?[?1? 0)?(0? 1]? (4)y?1? 4?x2 解 由4?x2?0得 |x|?2? 函数的定义域为(?2? 2)? (5)y?sinx?
解 由x?0得函数的定义D?[0? ??)? (6) y?tan(x?1)?
解 由x?1??(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为x?k????1 (k?0? ?1? ?2? ? ?
22?)?
(7) y?arcsin(x?3)?
解 由|x?3|?1得函数的定义域D?[2? 4]? (8)y?3?x?arctan1?
x 解 由3?x?0且x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? 3)? (9) y?ln(x?1)?
解 由x?1?0得函数的定义域D?(?1? ??)? (10)
1y?ex?
解 由x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? ??)?
7? 下列各题中? 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)?lg x2? g(x)?2lg x? (2) f(x)?x? g(x)?x2?
(3)f(x)?3x4?x3?g(x)?x3x?1?
(4)f(x)?1? g(x)?sec2x?tan2x ? 解 (1)不同? 因为定义域不同?
(2)不同? 因为对应法则不同? x?0时? g(x)??x? (3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同? 因为定义域不同?
??|sinx| |x|??3? 求?(?)? ?(?)? ?(??)? ?(?2)? 并作出函数y??(x) 8? 设?(x)??644 |x|???0 3?的图形?
解 ?(?)?|sin?|?1? ?(?)?|sin?|?2? ?(??)?|sin(??)|?2? ?(?2)?0? 442442662 9? 试证下列函数在指定区间内的单调性? (1)y?x? (??? 1)?
1?x (2)y?x?ln x? (0? ??)? 证明 (1)对于任意的x1? x2
(??? 1)? 有1?x1?0? 1?x2?0? 因为当x1?x2时?
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集
