第14讲 导数与函数的单调性
函数的单调性与导数
导数单调递在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在这个区间到 增 上单调 单调单调递在区间(a,b)上,若f'(x)<0,则f(x)在这个区间性 减 上单调 单调单调递若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则性 增 f'(x) 到导单调递若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则数 减 f'(x) “函数y=f(x)在区间(a,b)上的导数大(小)于0”是“其单调递增(减)”的 条件
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=e-x的单调递增区间是 . 2.[教材改编] 比较大小:x ln x(x∈(1,+∞)).
3.[教材改编] 函数y=ax-1在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为 . 4.[教材改编] 已知f(x)是定义在R上的可导函数,函数y=e
f'(x)
3
x的图像如图2-14-1所示,则
f(x)的单调递减区间是 .
图2-14-1
题组二 常错题
1
◆索引:可导函数在某区间上单调时导数满足的条件;利用单调性求解不等式时不能忽视原函数的定义域;求单调区间时忽略定义域;讨论函数单调性时分类标准有误. 5.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上为增函数,则k的取值范围是 . 6.若函数f(x)=ln x- ,则不等式f(1-x)>f(2x-1)的解集为 . 7.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为 .
8.讨论函数y=ax-x在R上的单调性时,a应分 、 、 三种情况讨论.
3
探究点一 函数单调性的判断或证明
例1 [2024·商丘二模] 已知函数f(x)=(x-1)e+mx,其中m为常数,且m>- .讨论函数f(x)的单调性.
x+1
2
[总结反思] 用导数法判断和证明函数f(x)在区间(a,b)内的单调性的一般步骤: (1)求f'(x).
(2)确认f'(x)在区间(a,b)内的符号(如果含有参数,则依据参数的取值讨论符号). (3)得出结论:f'(x)>0时,函数f(x)为增函数;f'(x)<0时,函数f(x)为减函数. 变式题 已知函数f(x)= e,a∈R. (1)求f(x)的零点;
(2)当a≥-5时,求证:f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.
x
探究点二 求函数的单调区间
2
例2 [2024·北京朝阳区一模] 已知函数f(x)= -
-ax(a∈R).
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若a<-1,求函数f(x)的单调区间.
[总结反思] (1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号.不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不等式,其解集即为函数的单调区间;含参数的问题,应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解,其解集即为函数的单调区间. (2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内,不要超出定义域的范围. 变式题 (1)函数f(x)=3ln x-4x+x的单调递增区间为( )
2
A.(0,1),(3,+∞) B.(1,3)
C.(-∞,1),(3,+∞) D.(3,+∞)
(2)函数f(x)=x+ +2ln x的单调递减区间是 . 探究点三 已知函数单调性确定参数的取值范围 例3 已知函数f(x)=x+ln x-ax. (1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)在(0,1)上是增函数,求a的取值范围.
2
[总结反思] (1)f(x)在D上单调递增(减),只要满足f'(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可.如果能够分离参数,则可分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.
3
(2)二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图像的对称轴与区间D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.
变式题 (1)[2024·哈尔滨师大附中三模] 若函数f(x)=2x+sin x·cos x+acos x在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ( ) A.[-1,1] B.[-1,3] C.[-3,3] D.[-3,-1]
(2)若函数f(x)=x+aln x不是单调函数,则实数a的取值范围是 ( ) A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.(-∞,0) D.(0,+∞)
探究点四 函数单调性的简单应用
例4 (1)定义域为R的可导函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x) (2)已知函数g(x)是偶函数,f(x)=g(x-2),且当x≠2时,导函数f'(x)满足(x-2)f'(x)>0,若1 aaaax 4 [总结反思] 用导数比较大小或解不等式,常常要构造新函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题,再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数有:g(x)=xf(x),g(x)= ,g(x)=ef(x),g(x)= ,g(x)=f(x)ln x,g(x)= 等. 变式题 (1)已知a=2.1,b=2.2,c=log2.22.1,则 ( ) A.c (2)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(2)=7,且f(x)的导函数f'(x)<3,则不等式f(ln 2.2 2.1 x x)>3ln x+1的解集为 . 第14讲 导数与函数的单调性 考试说明 1.了解函数单调性和导数的关系; 2.能利用导数研究函数的单调性; 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 【课前双基巩固】 5
通用版2024届高考理科数学大一轮复习：第14讲导数与函数的单调性(解析版)
