第2课时 空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)
空间中的距离问题
如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，
且PA＝AD＝2，点E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．
(1)求证：平面EFG⊥平面PAB； (2)求点A到平面EFG的距离．
【解】 如图，建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
→→→
(1)证明：因为EF＝(0，1，0)，AP＝(0，0，2)，AB＝(2，0，0)，所→→→→
以EF·AP＝0×0＋1×0＋0×2＝0，EF·AB＝0×2＋1×0＋0×0＝0，
所以EF⊥AP，EF⊥AB.
又因为AP，AB?平面PAB，且PA∩AB＝A， 所以EF⊥平面PAB.
又EF?平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAB. (2)设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)，
→?EF＝（x，y，z）·（0，1，0）＝0，?n·则?所以{y＝0，，x＋2y－z＝0.
→?（1，2，－1）＝0，?n·EG＝（x，y，z）·
→
|AE·n|12→
取n＝(1，0，1)，又AE＝(0，0，1)，所以点A到平面EFG的距离d＝＝＝.
|n|22
(1)空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． ①点点距：点与点的距离，以这两点为起点和终点的向量的模；②点线距：点M到直→
线a的距离，若直线的方向向量为a，直线上任一点为N，则点M到直线a的距离为d＝|MN→
|·sin〈MN，a〉；③线线距：两平行线间的距离转化为点线距离，两异面直线间的距离转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度；④点面距：点M到平面α的距离，若平面α的法
→|MN·n|→→
向量为n，平面α内任一点为N，则点M到平面α的距离d＝|MN||cos 〈MN，n〉|＝.
|n|
(2)利用空间向量求空间距离问题，首先应明确所求距离的特征，恰当选用距离公式求解．
1．如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝6，则B1到平面PAD的距离为________．
解析：以A1为原点，以A1B1所在直线为x轴，A1D1所在直线为y轴，→→A1A所在直线为z轴建立空间直角坐标系A1-xyz，则AD＝(0，2，0)，AP＝(1，1，2)，设平面PAD的法向量是m＝(x，y，z)，
→?AD＝0，?m·
所以由?
→?AP＝0，?m·
??2y＝0，
可得?取z＝1，得m＝(－2，0，1)，
?x＋y＋2z＝0.?
→
因为B1A＝(－2，0，2)，
→
|B1A·m|6
所以B1到平面PAD的距离d＝＝5.
|m|56
答案：5
5
2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.
(1)求证：平面A1BC1∥平面ACD1； (2)求平面A1BC1与平面ACD1的距离．
解：(1)证明：因为AA1綊CC1，所以四边形ACC1A1为平行四边形，所以AC∥A1C1. 又AC?平面A1BC1，A1C1?平面A1BC1，
所以AC∥平面A1BC1.同理可证CD1∥平面A1BC1. 又AC∩CD1＝C，AC?平面ACD1，CD1?平面ACD1， 所以平面A1BC1∥平面ACD1.
→→→
(2)以B1为原点，分别以B1A1，B1C1，B1B的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系B1-xyz，则A1(4，0，→→
0)，A(4，0，2)，D1(4，3，0)，C(0，3，2)，A1A＝(0，0，2)，AC＝→
(－4，3，0)，AD1＝(0，3，－2)，
设n＝(x，y，z)为平面ACD1的一个法向量， →??－4x＋3y＝0，AC＝0，??n·则?即?取n＝(3，4，6)，
?→3y－2z＝0，?AD1＝0，??n·
→
|n·A1A|1212→→
所以所求距离d＝|A1A|×|cos〈n，A1A〉|＝＝222＝61，
|n|3＋4＋66112
故平面A1BC1与平面ACD1的距离为61.
61
立体几何中的最值(范围)问题
(1)(2020·宁波十校联考)如图，平面PAB⊥平面α，
AB?α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，l?α，且l⊥AB，则PQ与l所成角的正切值的最小值为( )
A. C.7
37－3＋
2
B. D．3
3＋
37
2
(2)(2020·温州高考模拟)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠BCD＝90°，BC＝2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是( )
A.?0，
?
2?
2?
B.?0，
?
6? 3?
C.?
2?，2 ?2?
D.?
6?，2
?3?
【解析】 (1)如图，不妨以CD在AB前侧为例．以点O为原点，分别以OB、OP所在直线为y、z轴建立空间直角坐
2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第八章 7 第7讲 空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)
