第2课时 空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)
空间中的距离问题
如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,
且PA=AD=2,点E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.
(1)求证:平面EFG⊥平面PAB; (2)求点A到平面EFG的距离.
【解】 如图,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
→→→
(1)证明:因为EF=(0,1,0),AP=(0,0,2),AB=(2,0,0),所→→→→
以EF·AP=0×0+1×0+0×2=0,EF·AB=0×2+1×0+0×0=0,
所以EF⊥AP,EF⊥AB.
又因为AP,AB?平面PAB,且PA∩AB=A, 所以EF⊥平面PAB.
又EF?平面EFG,所以平面EFG⊥平面PAB. (2)设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z),
→?EF=(x,y,z)·(0,1,0)=0,?n·则?所以{y=0,,x+2y-z=0.
→?(1,2,-1)=0,?n·EG=(x,y,z)·
→
|AE·n|12→
取n=(1,0,1),又AE=(0,0,1),所以点A到平面EFG的距离d===.
|n|22
(1)空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离. ①点点距:点与点的距离,以这两点为起点和终点的向量的模;②点线距:点M到直→
线a的距离,若直线的方向向量为a,直线上任一点为N,则点M到直线a的距离为d=|MN→
|·sin〈MN,a〉;③线线距:两平行线间的距离转化为点线距离,两异面直线间的距离转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度;④点面距:点M到平面α的距离,若平面α的法
→|MN·n|→→
向量为n,平面α内任一点为N,则点M到平面α的距离d=|MN||cos 〈MN,n〉|=.
|n|
(2)利用空间向量求空间距离问题,首先应明确所求距离的特征,恰当选用距离公式求解.
1.如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=6,则B1到平面PAD的距离为________.
解析:以A1为原点,以A1B1所在直线为x轴,A1D1所在直线为y轴,→→A1A所在直线为z轴建立空间直角坐标系A1-xyz,则AD=(0,2,0),AP=(1,1,2),设平面PAD的法向量是m=(x,y,z),
→?AD=0,?m·
所以由?
→?AP=0,?m·
??2y=0,
可得?取z=1,得m=(-2,0,1),
?x+y+2z=0.?
→
因为B1A=(-2,0,2),
→
|B1A·m|6
所以B1到平面PAD的距离d==5.
|m|56
答案:5
5
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.
(1)求证:平面A1BC1∥平面ACD1; (2)求平面A1BC1与平面ACD1的距离.
解:(1)证明:因为AA1綊CC1,所以四边形ACC1A1为平行四边形,所以AC∥A1C1. 又AC?平面A1BC1,A1C1?平面A1BC1,
所以AC∥平面A1BC1.同理可证CD1∥平面A1BC1. 又AC∩CD1=C,AC?平面ACD1,CD1?平面ACD1, 所以平面A1BC1∥平面ACD1.
→→→
(2)以B1为原点,分别以B1A1,B1C1,B1B的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系B1-xyz,则A1(4,0,→→
0),A(4,0,2),D1(4,3,0),C(0,3,2),A1A=(0,0,2),AC=→
(-4,3,0),AD1=(0,3,-2),
设n=(x,y,z)为平面ACD1的一个法向量, →??-4x+3y=0,AC=0,??n·则?即?取n=(3,4,6),
?→3y-2z=0,?AD1=0,??n·
→
|n·A1A|1212→→
所以所求距离d=|A1A|×|cos〈n,A1A〉|==222=61,
|n|3+4+66112
故平面A1BC1与平面ACD1的距离为61.
61
立体几何中的最值(范围)问题
(1)(2020·宁波十校联考)如图,平面PAB⊥平面α,
AB?α,且△PAB为正三角形,点D是平面α内的动点,ABCD是菱形,点O为AB中点,AC与OD交于点Q,l?α,且l⊥AB,则PQ与l所成角的正切值的最小值为( )
A. C.7
37-3+
2
B. D.3
3+
37
2
(2)(2020·温州高考模拟)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABC⊥平面BCD,△BAC与△BCD均为等腰直角三角形,且∠BAC=∠BCD=90°,BC=2,点P是线段AB上的动点,若线段CD上存在点Q,使得直线PQ与AC成30°的角,则线段PA长的取值范围是( )
A.?0,
?
2?
2?
B.?0,
?
6? 3?
C.?
2?,2 ?2?
D.?
6?,2
?3?
【解析】 (1)如图,不妨以CD在AB前侧为例.以点O为原点,分别以OB、OP所在直线为y、z轴建立空间直角坐
2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书:第八章 7 第7讲 空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)
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