2019-2020 年中考数学一轮复习 一元二次方程的解法、根的判别式
一、中考要求：
1. 理解一元二次方程的概念，掌握它们的解法； 2．掌握一元二次方程根的判别式
,并能运用它解决相应问题；
3．掌握一元二次方程根与系数的关系；
二、知识要点：
1．只含有个未知数，并且未知数的最高次数是 2．一元二次方程的一般形式是 （1）从概念分析应具备三个条件：
的整式方程叫做一元二次方程。
。
“一元 ”、 “二次 ”、 “整式 ”方程 （2）从形式上看， 应先将一个方程进行整理， 看是否符合一般形式。 其中尤其注意
a 0
条件，若不能确定
a 0 a
时，它是一元二次方程； 当
a 0 的 0 b 0
，
时，则需分类讨论： 当
时，它是一元一次方程。
3．一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法。 4．一元二次方程
ax2 bx c 0 a 0 的根的判别式△
= 。当△＞ 0 时，方程
实数根。
实数根；当△ =0 时，方程 5．判别式性质的应用
（ 1）不解方程判断方程根的情况；
实数根；当△＜ 0 时，方程
（ 2）求方程中字母系数的值、范围或者相互关系。 6. 一元二次方程根与系数的关系：若关于 分别为 x1 ， x2 ，那么 x1 x2
x 的一元二次方程 ax2 bx c ， x1 x2
.
0(a 0) 有两根
7.一元二次方程常与分式、根式、一元一次不等式 题。 基础练习： 1．方程 3x(x
(组)、函数等知识相联系，解决综合性问
1) 0 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . .
n 1
( n 1) x 3n 0 中，则一次项系数是 2．关于 x 的一元二次方程 (n 3) x 2
3．一元二次方程 x2x 3 0 的根是
.
4．某地 2005 年外贸收入为 2.5 亿元， 2007 年外贸收入达到了 4 亿元，若平均每年的增长率
为 x，则可以列出方程为
2
.
5. 关于 x 的一元二次方程 x
5x p2
2 p 5 0 的一个根为
C． 1
）
1，则实数 p =（ ）
D． 1
A． 4
B． 0 或 2
6．一元二次方程 x2
2x 1 0 的根的情况为（
Ａ．有两个相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根
Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｄ．没有实数根
2
7. 若方程 kx － 6x＋ 1＝ 0 有两个不相等的实数根 ,则 k 的取值范围是
.
8． 设 x1、 x2 是方程 3x＋ 4x－ 5＝0 的两根 ,则
21 x1
1 x2
229．关于 x 的方程 2x＋ (m－ 9)x＋ m＋ 1＝ 0，当 m＝
时，两根互为倒数；
当 m＝
时，两根互为相反数 .
10．若 x1 = 3 =
.
2 是二次方程 x2＋ ax＋1＝ 0 的一个根 ,则 a＝
，该方程的另一个根 x2
三、典例剖析：
例 1．解方程：（ 1）( x 4) 2
5( x 4) ； （2）( x 1) 2 4x ； （ 3）2x 2 10 x 3.
（4） 9(x
3)2 16(1 2x) 2 ； （ 5） 用配方法解方程 2x2+7x+3=0。
例 2．
已知一元二次方程 （ m 1）x2 7mx m2 3m 4
0 有一个根为零，求 m 的值 .
例 3. 当 k 为何值时，方程 x2 两根为倒数 .
6x k 1
0 ，（ 1）两根相等；（ 2）有一根为 0；（ 3）
例 4. 关于 x 的方程 (a －5)x2 － 4x－ 1＝ 0 有实数根，则
a 满足
例 5.
已知 ａ 、 ｂ 、 ｃ 分别是△ ABC 的三边，其中 ａ ＝ 1 ， ｃ ＝ 4，且关于 x 的方程
x2
4x b 0有两个相等的实数根，试判断△ ABC 的形状。
2
例 6.已知关于 x 的函数 y ax
x 1 （ a 为常数）（ 1）若函数的图象与 x 轴恰有一个交
点，求 a 的值；
（ 2）若函数的图象是抛物线， 且顶点始终在 x 轴上方， 求 a 的取值范围． 四、课后练习：
1．方程 (5x－ 2) (x－ 7)＝ 9 (x－ 7)的解是 _________.
2
2． 如果非零实数 为
a、 b、 c 满足 a+b+c=0，则关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0 必有一根
3.下列方程中是一元二次方程的有
2
（填序号）
2
①9 x =7 x
②
y 2 3
=8 ③ 3y(y-1)= y(3y+1)
④ x -2y+6=0 ⑤ 2 ( x +1)=
2
10
4
⑥
x 2 -x-1=0
6，边 AB 的长是方程 x 2
4.菱形 ABCD 的一条对角线长为 ABCD 的周长为
.
7 x 12
0 的一个根，则菱形
当 c 时，关于 x 的方程 2
2x 8x c 5. __________
有实数根．
0
6. 已 知 一 直 角 三 角 形 的 三 边 为 a 、 b 、 c ， ∠ B=90 °， 那 么 关 于 x 的 方 程
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