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几种求极限方法的总结
摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过sn对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.
关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列
1 用定义求极限?1?
根据极限的定义：数列{xn}收敛??a,??〉0,?N?N?,当n〉N时，有xn-a〈?. 例1 用定义证明limn?1
n??n?1n11?1??1=??成立：解得n??1,取N=??1?，于n?1n?1????证明：???0,要使不等式
nn?1??1??,即lim是???0,? N=??1?，?n?N，有?1
n???n?1n?1??2利用两边夹定理求极限?1?
?1?111? ????例2 求极限lim???2n??n2?2n2?3n2?n??n?1 解：设cn?1n?12?1n?22??1n?n2
nn?nnn?122则有：cn?1n?n12?1n?n1n?122?1n?n1n?122?
nn?n2cn?同时有：
n?12??? ，于是 ?cn?nn?12,由n2?n?n2?2n?1?n?1,n2?1?n2?n. 有
n?n?1nn2?n?cn?nn2?1?n?1 n?已知：lim?1?111n??=1 ?????1 ∴lim??2222n??n??n?1n?2n?3n?n??n?113利用函数的单调有界性求极限??
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实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.
例3 设x1?a，x2?a?a，?xn?a?a???a（n=1,2,?）(a?0),求limxn
n??解：显然?xn?是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见
x2?a?x1，x3?a?x2 ，? xn?a?xn?1，?
2从而 xn?a?xn?1，显然xn是单调增加的，所以xn2?a?xn
两段除以xn，得 xn?a?1 ?a?xn?a?1 这就证明了?xn?的有界性 xn2n??n??2xn?a?limxn?1 设xn?l，对等式xn?a?xn?1两边去极限，则有lim?l2?l?a解得l?l?4a?1 24利用无穷小的性质求极限?2?
关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x?a)是无穷小，函数g(x)在U（a,?)有界，则函数f(x)*g(x)(x?a)是无穷小. 例 求极限lim(cosx?1?cosx)
x???解4 cosx?1?cosx??2sin(x?1xx?1x?)sin(?) 2222??2sin(x?1x?)?2 而22x?1x?)?2210?sin(x?1x1?? 222(x?1?x)x?1_x?0 2而limx??2(x?1?x)?0,故 limn??5 应用“两个重要极限”求极限?2?
limsinx1?1,lim(1?)x?e
x?0x??xx-------------
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例5求limx??(sin1x?cos1x)
sin2x解
x12(sin1?cos1)x??2sin2x
?(sin1?cos1)2??2xxx?xx??(1?sinx)sin21x2∴原式=lim(1?2sin2xxx??sinx)?e
6利用洛必达法则求极限?2?
??arctanx例6求lim2x??（0sin10) x??arctanx?1解： lim2n??=lim1?x2sin1n???1 x?11x2cosx例7 求极限limtanxx??2tan3x （??)
解 limtanxx??2tan3x= lim(tanx),?lim(cos3x)3?lim?6cos3xsin3xsin6x6cos6x?6x??2(tan3x),x??23(cosx)2x??2?6cosxsinx?limx??2sin2x?limx??22cos2x??2?3
7利用泰勒公式求极限?2?
例8：求极限 limx2n??1?xsinx?cosx
解 ∵
x2中分子为x2，∴将各函数展开到含x2项。
1?xsinx?cosx当
x?0时，
1?xc1222?oxs?x0x2(?从x-------------
而2?)x,
(整理)几种求极限方法的总结
