函数与方程
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一、选择题
1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) B [∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0， ∴f(1)·f(2)＜0，
∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，且为增函数， ∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．]
?x2＋x－2，x≤0，2．函数f(x)＝?的零点个数为( )
?－1＋ln x，x＞0A．3 C．7
B [法一：(直接法)由f(x)＝0得
B．2 D．0
?x≤0，?2 ?x＋x－2＝0?x＞0，或? ?－1＋ln x＝0，解得x＝－2或x＝e. 因此函数f(x)共有2个零点．
法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．]
3．已知a是函数f(x)＝2x－log1x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足( )
2
A．f(x0)＝0 C．f(x0)＜0
C [f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 若0＜x0＜a， 则f(x0)＜f(a)＝0.]
B．f(x0)＞0
D．f(x0)的符号不确定
4．已知函数f(x)＝x－x(x＞0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，x3，则( )
A．x1＜x2＜x3 C．x2＜x3＜x1
B．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2
C [作出y＝x与y1＝x，y2＝－ex，y3＝－ln x的图象如图所示，可知选C.
]
1，x≤0，??5．(2019·长沙模拟)已知函数f(x)＝?1
，x＞0，??x的实数m的取值范围是( )
A．(1,2)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2]
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
则使方程x＋f(x)＝m有解
D [当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x＞0时，x＋f(x)1
＝m，即x＋x＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.]
二、填空题
6．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
?1?
?3，1? [∵函数f(x)的图象为直线， ??
由题意可得f(－1)f(1)＜0，
1
∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得3＜a＜1， ?1?∴实数a的取值范围是?3，1?.]
??
7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．
[∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根， ?－2＋3＝－a，
由根与系数的关系知?
?－2×3＝b.?a＝－1，∴? b＝－6，?
∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0， 即－(4x2＋2x－6)＞0?2x2＋x－3＜0， 解集为
.]
?2x－1，x＞0，8．(2019·漳州模拟)已知函数f(x)＝?2若函数g(x)＝f(x)－m有
?x＋x，x≤0，三个零点，则实数m的取值范围是________．
[作出函数f(x)的图象如图所示．,当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝
2111?1?
?x＋2?－≥－，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－＜m≤0，
444??即实数m的取值范围是
.]
三、解答题
9.已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点． (1)求m的值． (2)求函数的零点．
[解](1)因为f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．,设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0， 2， 所以m＝±
当m＝－2时，t＝1；
当m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)． 所以2x＝1，x＝0符合题意． 当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2， t2＋mt＋1＝0有两正或两负根， 即f(x)有两个零点或没有零点． 所以这种情况不符合题意．
综上可知：当m＝－2时，f(x)有唯一零点． (2)由(1)可知，该函数的零点为0. 1??
?10.设函数f(x)＝?1－x??(x＞0)． (1)作出函数f(x)的图象；
11
(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求a＋b的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围． [解](1)如图所示．
1
－1，x∈?0，1]，??x1??
(2)因为f(x)＝?1－x?＝???1
1－??x，x∈?1，＋∞?，
故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数． 由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，
1111
且a－1＝1－b，所以a＋b＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的交点，即方程f(x)＝m有两个不相等的正根．
1．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点有( )
A．多于4个 C．3个
B．4个 D．2个
B [因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．
显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.] 2．已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝x＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[23，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞) C．(0，2]∪[23，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞)
1?22?x－??与g(x)B [在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)＝m
?m?＝x＋m的大致图象．分两种情形：
1
(1)当0＜m≤1时，m≥1，如图①，当x∈[0,1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．
2
2021版江苏高考数学一轮复习集训14 函数与方程
