第一章 实数的概念 性质和运算
（甲） 内容要点 一、充分条件
定义：如果条件A成立，那么就可以推出结论B成立。即A?B，这时我们就说A是B的充分条件。
例如：A为x>0, B为x2>0.
由x>0?x2>0 A是B的充分条件.
MBA联考数学中有一类题目叫做“充分性判断题”：
本题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论.（而不必考试条件是否必要） 在这类题目中有五个选项，规定为
（A） 条件（1）充分，但条件（2）不充分； （B） 条件（2）充分，但条件（1）不充分；
（C） 条件（1）和（2）单独都不充分，但联合起来充分； （D） 条件（1）充分，条件（2）也充分；
（E） 条件（1）和（2）单独都不充分，联合起来也不充分. 二、实数
1、 数的概念和性质
m（百分数%） n（2）数的整除：设?a,b∈Z 且b≠0若?P∈Z使得a=pb成立，则称b能整除a，或
（1）自然数N、整数Z、分数
a能被 b整除，记作b︱a,此时我们把b叫做a因数，把a叫做b的倍数。 定理（带余除法），设a,b∈Z,且b>0,则?P，r∈Z使得a=bP+r，0≤r 合数：一个大于1的正整数，除了能被1和本身整除外，还能被其他正整数整除.这样的正整数叫做合数.例如：4、6、9、、、. (4)有理数与无理数 有理数，整数、有限小数和无限循环小数，统称为有理数. 无理数；无限不循环小数叫做无理数. （5）实数；有理数和无理数统称为实数，实数集用R表示. 2、实数的基本性质： （1）实数与数轴上的点一一对应. （2）?a，b∈R，则在a 2 （3）?a∈R,则a≥0. 3、实数的运算. 实数的加、减、乘除四则运算符合加法和乘法运算的交换律，结合律和分配律。 下面讨论实数的乘方和开方运算 （1）乘方运算 当a∈R，a≠0时，a=1，a=正数。 0 -n 1,负实数的奇数次幂为负数；负数的偶次数幂为an（2）开方运算 在实数范围内，负实数无偶次方根；0的偶次方根是0；正实数的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根。 在运算有意义时， a?man nm三、绝对值 １、定义 实数a的绝对值，用︱a︱表示 几何意义：数轴上表示数a的点Ａ到原点Ｏ的距离。 ２、性质 （１）︱a︱≥０ （２）︱–a︱=︱a︱ （３）–︱a︱≤a≤︱a︱ （４）︱x︱?a ?a?0???a?x?a x?a?x??a或x?a ︱a?b︱︱?a︱︱?b︱（５） （６） bb?（a≠0） aa（７）︱a+b︱≤︱a︱+︱b︱,当且仅当a,b同号时，等式成立． （８）︱a-b︱≥︱a︱-︱b︱,当且仅当a,b同号时，等式成立. 22 （９）a∈R时，︱a︱=a 四、平均值 x1?x2?...?xn1n??xi １、算术平均值：n个数x1,x2,...,xn的算术平均值为x?nni?1２、几何平均值：n个正数x1, x2,?..xn,的几何平均值为 G?nx1?x2?x3?...?xn?五、比和比例 ni?1?xi aa:b＝ bn１、比的意义：两个数相除，又叫做这两个数的比记做a:b、即a叫做比的前项，b叫做比的后项，若2、 比的性质 （1） a:b=k?a=kb （2） a:b=ma:mb(m≠0) 3、 百分比 a的商为k则称k为a:b的值。 b把比值表示成分母为100的分数，这个数就称为百分比或百分率，如1:2=50% a:b=r%常表述为a是b的r%,即a=b?r%. 4、 比例的定义 如果两个比a:b和c:d的比值相等，就称a、b、c、d成比例，记作 a:b= c:d或 ac=a和d叫做比例的外项，b和c叫做比例的内项。 bd当a:b= b:d时，称b为a和d的比例中项即 b2=ad （乙） 典型例题 一、 充分条件判断，举例 1、 方程x2-5x+6=0 (1)x=2 (2)x=1 解:将(1)x=2 代入方程,22-5?2+6=0 满足方程. 条件(1)充分. 将(2)x=1代入方程 12-5?1+6=2?0条件(2)不充分.答案应选A 注 :若比题题干不变 所给出的条件有如下变化时:x?5x?6?0. (一) (1)x=1, (2)x=3 答案应选B (二) (1)x=2 (2)x=3 答案应选D (三) (1)x=0 (2)x=1 答案应选E 2、等式x=y成立(x,y实数) (1)x2= y2 (2)x和y同号 解:由x2 =y2?x=y或x=-y条件(1)不充分.x和y同号时,可能x?-y,条件(2)不充分. 但条件(1)与(2)联合起来,x2=y2且x与y同号?x=y故答案选C 3、将一篇文章录入讲算机,录入员甲比录入员乙效率高 (1)录入员甲与录入员丙合作,需3小时完成; (2)录入员乙与录入员丙合作,需4小时完成; 解:设甲单独录入需x小时录完,乙单独录入y小时录完. 211111111111由条件(1)丙每小时录入量为-,再由条件(2)得+(-)=?=+> ?y3x43xxy12xy即:甲每小时完成的工作量大于乙每小时完成的工作量. 即:甲的效率比乙高,此题应选C 二、 实数 5、 从1到105的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（ ） （A）58个（B）57个（C）56个（D）49个（E）47个 解：能被3整除的数可表示为3k，k=1，2、、、、35是1到105能被整除的数.能被5整除的数可表示为5k, k=1,2、、、、,21是1到105能被整除的数. 3和5的最小公倍数是15既能被3整除,又能被5整除的数一定是15的倍数,可表示为15k ， k=1,2、、、、、7是从1到105中能被15整除的数,从而能被3整除或被5整除的 个数为35+21－7=49个 答案是D 5、（充分性判断）（2009年10月考题） m是一个整数。 （1） 若m= p，其中p与q为非零整数，且m2是一个整数。 qp2m?4，其中p与q为非零整数，且是一个整数。 q3p，知m是有理数，又m2是一个整数，即有理数的平q（2） 若m= 解：由条件（1），若m= 方是整数，则该有理数m必是一个整数，条件（1）充分 由条件（2），若m= p2m?4，知m是有理数，又 =z是一个整数,即2m+4=3q3 z?m= 3z?4故m不一定是一个整数,条件(2)不充分,故选A. 36、 （2008年10月考试） 一个大于1的自然数的算术平方根为a，则与这个自然数左右相邻的两个自然数的算术平方根分别为（ ） (A)a-1，a+1 (B) a?1，a?1 (C) （E）a?1,a?1 222解：设n是大于1的自然数，n?a则n?an?1,n?1分别为a?1，a?1，从而n?1， 22a?1，a?1， （D）a2?1，a2?1 n?1的算术平方根分别为a2?1，a2?1 故选D 7、把无理数13记作a，它的小数部分记作b则a?（A）-1 （B）1 （C）-2 （D）2 （E）-3 解：因为9<13<16 所以3< 4等于（ ） b13<4 ,故13的整数部分是3 ,即b=a-3. 所以 44a2?3a?413?313?49?313a??a??????3,答案选E ba?3a?313?313?3三、 绝对值 8、已知︱x?y?6︱+(x?4y)2=0,则logyx=_______ 解：由?x?y?6??0,(x?4y)?0 2?x?y?6?0?x?8 log28=3 答案：3 ?????x?4y?0?y?29、求适合下列条件的所有x的值 ︱x?6︱=10 （1） ︱x?6︱?9 （2） ︱x?6︱?1 （3） 解：（1）x?6??10得x?16或x??4 （2）?9?x?6?9??3?x?15 （3）x?6??1或x?6?1?x?5或x?7 10、已知︱3x?11?3x︱=,求x的取值范围. 22︱a︱=-a,应有a?0 解:已知等式可能简化表示为 由 3x?11?0?x? 2313所以x取值范围是x?(??,] 11、（2001年考题） 已知 ︱a︱=5,︱b︱=7,ab<0则︱a-b︱=( ) （A）2 （B）-2 （C）12 （D）-12 （E）6 解：由ab?0则可知a?0,b?0或a?0,b?0 当a?0时b?0时由︱a︱=5 ︱b︱=7得a=-5 b=7 ︱a-b︱=︱-5-7︱=12 从而 当a>0,b<0时 得a=5,b=-7 ︱a-b︱=︱5-(-7)︱=12 所以答案选C 从而 12、（充分性判断） 方程f(x)=2有且只有一个实根 ︱x?3︱+2 （1）f(x)?︱x-3︱(2)f(x)? 解：由（1）得 x?3+2=2得x?3?0，x＝3，条件（1）充分
MBA数学基础阶段讲义[001]
