高考数学一轮复习解三角形题型归纳教案
集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
姓名 学科 阶段 课题名称 数学 学生姓名 年级 高三 填写时间 教材版本 本人课时统计 2 人教A版 第（ ）课时 共（ ）课时 上课时间 观察期□：第（ ）周 维护期□ 解三角形题型归纳总结复习 同步教学知识内容 个性化学习问题解决 课时计划 教学目标 教学重点 教学难点 一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形 2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边 教师活动 （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a，b和A，求B时的解的情况: 如果sinA≥sinB，则B有唯一解；如果sinA
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①） （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。 （3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③） ①北偏东?即由指北方向顺时针旋转?到达目标方向； ②北偏本?即由指北方向逆时针旋转?到达目标方向； ③南偏本等其他方向角类似。 （4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡比） 9、ΔABC的面积公式 1S?aha(ha表示a边上的高)2（1）； （2）S?S?111abcabsinC?acsinB?bcsinA?(R为外接圆半径)2224R； 1r(a?b?c)(r为内切圆半径)2。 （3）二、典型例题 题型1 边角互化 [例1 ]在?ABC中，若sinA:sinB:sinC?3:5:7，则角C的度数为 【解析】由正弦定理可得a:b:c=3:5:7，,令a、b、c依次为3、5、7，则a2?b2?c232?52?721cosC===? 2?3?52ab2因为0C?，所以C=? 23222在△ABC中，sinA?sinB?sinC?sinBsinC，则A的取值范围是 (0,]（A）6 ? [,?)（B）6 ?(0,]（C）3 ? [,?)（D）3 ?[例2 ]?若a、b、c是?ABC的三边，f(x)?b2x2?(b2?c2?a2)x?c2，则函数f(x)的图象与x轴【 】 A、有两个交点B、有一个交点C、没有交点 D、至少有一个交点 【解析】由余弦定理得b2?c2?a2?2bccosA，所以
f(x)?b2x2?2bccosAx?c2=(bx?ccosA)2?c2?c2cos2A，因为cos2A1,所以c2?c2cos2A0，因此f(x)0恒成立，所以其图像与X轴没有交点。 题型2 三角形解的个数 [例3]在?ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】 A、a?7，b?14，A?30?； C、b?4，c?5，B?30?； 题型3 面积问题 B、b?25，c?30，C?150?； D、a?6，b?3，B?60?。 [例4] ?ABC的一个内角为120°，并且三边构成公差为4的等差数列，则?ABC的面积为 【解析】设△ABC的三边分别：x－4、x、x＋4， ∠C=120°，∴由余弦定理得：﹙x＋4﹚2=﹙x－4﹚2＋x2－2×﹙x－4﹚×x×cos120°，解得：x=10 ∴△ABC三边分别为6、10、14。 题型4 判断三角形形状 [例5] 在?ABC中，已知(a2?b2)?sin(A?B)?(a2?b2)?sin(A?B),判断该三角形的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 方法一：a2[sin(A?B)?sin(A?B)]?b2[?sin(A?B)?sin(A?B)] 由正弦定理，即知sin2AcosAsinB?sin2BcosBsinA 由02A,2B2?，得2A?2B或2A???2B 即?ABC为等腰三角形或直角三角形 方法二：同上可得2a2cosAsinB?2b2cosBsinA 2222222b?c?a2a?c?b?ba由正、余弦定理，即得：ab 2bc2ac即(a2?b2)(c2?a2?b2)?0 ?a?b或c2?a2?b2 即?ABC为等腰三角形或直角三角形 【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边） 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角） 1在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( ) A直角三角形 B锐角三角形C等腰三角形D等边三角形 2在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 ；若a2=b2+c2，则△ABC为 ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为
3在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用 [例6]在?ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，且sinA?sinC?psinB(p?R)且1ac?b2 45（1）当p?,b?1时，求a,c的值； 4（2）若角B为锐角，求p的取值范围。 5111【解析】（1）由题设并由正弦定理，得a?c?,ac?，解得，a?1,c?或a?,c?1 4444（2）由余弦定理，11b2?a2?c2?2accosB=(a?c)2?2ac?2accosB?p2b2?b2?b2cosB 22331即p2??cosB，因为0cosB1，所以p2?(,2)，由题设知p0，所以2226p2 2题型6、解三角形的实际应用 如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里 【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用S?vt求出边长,再进行进一步分析. [解析]如图，连结A1B1，由已知A2B2?102， 20A1A2?302??102， 60?A1A2?A2B1， 北 又∠A1A2B2?180?120?60， ?△A1A2B2是等边三角形， 乙 甲 ?A1B2?A1A2?102， 由已知，A1B1?20，∠B1A1B2?105?60?45， 22?A1B12?A1B2?2A1B2A1B2cos45 在△A1B2B1中，由余弦定理，B1B2?202?(102)2?2?20?102?2?200．?B1B2?102． 2因此，乙船的速度的大小为102?60?302（海里/小时）． 20
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