第课时对数函数及其性质的应用
[学习目标].进一步加深理解对数函数的概念.掌握对数函数的性质及其应用.
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对数函数的图象和性质＜＜ 图象 定义域 值域 性质 过定点 单调性 奇偶性 (，＋∞) ()，即当＝时，＝ 在(，＋∞)上是增函数 在(，＋∞)上是减函数 非奇非偶函数
要点一对数值的大小比较
例比较下列各组中两个值的大小：
()，；
()，(＞，且≠)；
()，；()π，π.
解()因为函数＝是增函数，且＜，
所以＜.
()当＞时，函数＝在(，＋∞)上是增函数，又＜，所以＜；当＜＜时，函数＝在(，＋∞)上是减函数，又＜，所以＞.
()方法一因为＞＞，
方法二如图所示
由图可知＞.
所以＜，即＜.
()因为函数＝是增函数，且π＞，所以π＞＝.
同理，＝ππ＞π，所以π＞π.
规律方法比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性.
.若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.
.若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
.若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数
的图象，再进行比较.
.若底数与真数都不同，则常借助等中间量进行比较.
跟踪演练()设＝，＝，＝，则()
＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞答案()()
()已知＝，＝，＝，则()
解析()利用对数函数的性质求解.
＝＜＝；＝＞＝，
由对数函数的性质可知＜，∴＜＜，故选.
()＝＝，函数＝在(，＋∞)上为增函数，＞＞，所以＞＞，故选.
要点二对数函数单调性的应用
例求函数＝(－)的单调增区间，并求函数的最小值.
解要使＝(－)有意义，则－＞，
∴＜，即－＜＜，
因此函数的定义域为(－).
令＝－，∈(－).
当∈(－]时，若增大，则增大，＝减小，
∴∈(－]时，＝(－)是减函数；同理当∈[)时，＝(－)是增函数.
故函数＝(－)的单调增区间为[)，且函数的最小值＝(－)＝.
规律方法.求形如＝()的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由()＞，先求定义域.
.求此类型函数单调区间的两种思路：()利用定义求证；()借助函数的性质，研究函数＝()和＝
在定义域上的单调性，从而判定＝()的单调性.
跟踪演练()函数()＝的单调递增区间是()
.[，＋∞)
.(]
.(，＋∞)
()设函数()＝(\\\\(－，≤，－，＞，))则满足()≤的的取值范围是()
.[，＋∞)
.[－].[]
.[，＋∞) 答案()()
解析()()＝(\\\\(－，≥，，＜＜.))
当≥时，＝是减函数，()＝－是增函数.∴()的单调增区间为[，＋∞).
()()≤?(\\\\(≤，－≤))或(\\\\(＞，－≤))
?≤≤或＞，故选.
要点三对数函数的综合应用例已知函数()＝(＞且≠)，
()求()的定义域；
()判断函数的奇偶性和单调性.
解()要使此函数有意义，
则有(\\\\(＋＞，－＞))或(\\\\(＋＜，－＜.))
解得＞或＜－，
此函数的定义域为(－∞，－)∪(，＋∞).
()(－)＝＝＝－＝－().
又由()知()的定义域关于原点对称，
∴()为奇函数.()＝＝(＋)，
函数＝＋在区间(－∞，－)和区间(，＋∞)上单调递减.
所以当＞时，()＝在(－∞，－)，(，＋∞)上递减；
当＜＜时，()＝在(－∞，－)，(，＋∞)上递增.
规律方法.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称.
.求函数的单调区间有两种思路：()易得到单调区间的，可用定义法来求证；()利用复合函数
2024版高中数学人教B版必修一学案3.2.2 第2课时 对数函数及其性质的应用
