圆锥曲线
一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：2a?|F1F2|表示椭圆；2a?|F1F2|表示线段F1F2；2a?|F1F2|没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：
标准方程 中心在原点，焦点在x轴上 x2y2?2?1(a?b?0) 2ab中心在原点，焦点在y轴上 y2x2?2?1(a?b?0) 2aby B2 P F2 A1 A2 x O F1 B1 P A1 y B2 O F2 B1 A2 图 形 x F1 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 A1(?a,0),A2(a,0)B1(0,?b),B2(0,b) A1(?b,0),A2(b,0)B1(0,?a),B2(0,a) x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a F1(?c,0),F2(c,0) F1(0,?c),F2(0,c) |F1F2|?2c(c?0) c2?a2?b2 e?c(0?e?1)（离心率越大，椭圆越扁） a2b2通 径 （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段） a223．常用结论：（1）椭圆x2?y2?1(a?b?0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B两
ab点，则?ABF2的周长=
22（2）设椭圆x2?y2?1(a?b?0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线
ab交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |PQ|?
二、双曲线：
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（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：|PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a（2a?|F1F2|）表示双曲线的一支。
2a?|F1F2|表示两条射线；2a?|F1F2|没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：
标准 方程
中心在原点，焦点在x轴上
x2y2?2?1(a?0,b?0) 2ab中心在原点，焦点在y轴上
y2x2?2?1(a?0,b?0) 2abP y F2 B2
P y x O A2 F2 图 形
F1 A1 O B1 x
顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径
（3）双曲线的渐近线： ①求双曲线xy2可令其右边的?2?1的渐近线，2ab2A1(?a,0),A2(a,0)
B1(0,?a),B2(0,a)
F1 x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a
F1(?c,0),F2(c,0)
|F1F2|?2c(c?0) ce?2F1(0,?c),F2(0,c)
?a2?b2
c(e?1)（离心率越大，开口越大） ay??bx a2b2ay??ax b
1为0，即得x2y2因式分解得到x?y?0。 ?2?0，
abab222x2y2xy②与双曲线2?2?1共渐近线的双曲线系方程是2?2??；
abab（4）等轴双曲线为x2?y2?t2，其离心率为2 2
（4）常用结论：（1）双曲线x2?y2?1(a?0,b?0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交双曲线
ab22的同一支于A,B两点，则?ABF2的周长= 22yx（2）设双曲线2?2?1(a?0,b?0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的ab直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |PQ|?
三、抛物线：
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：p?0
焦点在x轴上， 焦点在x轴上， 焦点在y轴上， 焦点在y轴上， 开口向右
y2?2px
标准 方程
开口向左
y2??2px
开口向上
x2?2py
开口向下
x2??2py
l y P x O F 图 形
P y l x F O y P F O x l P y O F x 顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦 焦准距
|PF|?|x0|?p 2x??p2pF(,0) 2
l O(0,0)
x轴
F(?p ,0)2pF(0,)
2y轴
pF(0,?)
2e?1
x?p2
2p
y??p2
y?p2
|PF|?|y0|?p 2
p
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四、弦长公式： |AB|?1?k2|x1?x2|?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2?1?k2?? |A|其中,A,?分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程 的判别式和x2的系数
求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程Ax2?Bx?C?0,设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理求出x1?x2??x1x2?C；（3）代入弦长公式计算。 AB，A法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程Ay2?By?C?0,则相应的
111?弦长公式是：|AB|?1?()2|y1?y2|?1?()2?(y1?y2)2?4y1y2?1?()2?
kkk|A|注意（1）上面用到了关系式|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2??和 |A|y1?y2?(y1?y2)2?4y1y2?? |A|注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法
五、弦的中点坐标的求法
法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程Ax2?Bx?C?0,设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理求出x1?x2??设中点M(x0,y0)，由中点坐标公式得x0?B；（3）Ax1?x2；再把x?x0代入直线方程求出y?y0。 2法（二）：用点差法，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点M(x0,y0)，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x0,y0。
六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)
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例1：设点P是圆x2?y2?4上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足
??????????PM?2MD．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．
??????????解 设点M的坐标为?x,y?，点P的坐标为?x0,y0?，由PM?2MD，
得?x?x0,y?y0??2?8?x,?y?，即x0?3x?16，y0?3y．
因为点P?x0,y0?在圆x2?y2?4上，所以x02?y02?4．即?3x?16???3y??4，
224?16?即?x???y2?，这就是动点M的轨迹方程．
3?9?53例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点(,?)，求椭圆的标准方程
222x2y2解法1 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为2?2?1(a?b?0)，
ab53532222?（??0）?(?2）?（??0）?210 由椭圆的定义可知：2a?(?2）2222x2y2??1 ?a?10又c?2,?b?a?c?6所以所求的标准方程为
106222x2y253?1，解法2 ?c?2,?b?a?c?a?4，所以可设所求的方程为2?2将点(,?)22aa?42222x2y2??1 代人解得：a?10 所以所求的标准方程为
106例3.
例4.
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圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）
