实用标准文案
形如
n?1dnyydyn?1dx?ax?...?ax?any?0 (18) 1n?1nn?1dxdxdxn的Euler 方程, 这里a1,…an为常数。
对于Euler 方程, 我们可以采用变量代换法从两个不同角度来考虑得以求解。
角度一:引进自变量的变换 x?et, 则t?lnx, 通过直接计算及数学归纳法不难证明:对于一切自然数k 均有关系式
kdkydk?1ydy?ktdy?e(???...??) 1k?1dxkdtkdtk?1dt其中?1,?2...,?k?1都是常数。于是有
dkydkydk?1ydy (19) x????...??1k?1dxkdtkdtk?1dtk将(19)代入方程(18), 就得到n 阶常系数齐次线性微分方程
dnydn?1ydyx?b?...?b?bny?0 (20) 1n?1dtndtn?1dtk其中b1,b2...,bn都是常数。此方程可采用特征根法求得通解, 再代回原来的变量t?lnx就可得欧拉方程(18)的通解。
角度二:由于n 阶常系数齐次线性微分方程(20)有形如y?e?t的解, 结合角度一中的推演过程, 从而方程(18)有形如y?x?的解, 因此可直接求欧拉方程形如y?x?的解, 作变量变换y?xk , 代入方程(20), 并约去因子xk, 即可得到确定k 的代数方程, 也是方(20)的特征方程
k(k?1)...(k?n?1)?a1k(k?1)...(k?n?2)?...?an?0 (21)
文档
实用标准文案
因此, 方程(21)的m 重实根k?k0, 对应于方程(18)的m 个解
xk0,xk0lnx,xk0ln2x...,xk0lnm?1x
而方程(21)的m 重复根 k???i? ，对应于方程(18)的2m 个实值解:
x?cos(?lnx),x?lnxcos(?lnx),...,x?lnm?1xcos(?lnx) x?sin(?lnx),x?lnxsin(?lnx),...,x?lnm?1xsin(?lnx)
6 变量代换法在研究解或轨线性态中的应用 1)考虑非线性常微分方程组
dy??(t;y),y?Rn解的性态, 我们通常将其与dxdy?f(t;x)， 从而使问题 dx具有某些特殊性质的特解联系在一起考虑。为研究方程组的特解y =φ(t)邻近的解的性态, 作变量变换x?y??(t) 使方程组化为
转化为讨论方程组零解邻近的解的性态。
2)考虑全相平面上的轨线性态时, 常用极坐标变换引入周期解与极限环来刻划全相平面上的轨线性态, 如研究平面一阶非线性驻定方程组
?dx22?d?x?y?x(x?y)?t ?d?y??x?y?y(x2?y2)??dt的全相平面的轨线状态，做极坐标变换
?x?rcos? ??y?rsin?从而使方程组化为
文档
实用标准文案
?dr?d?r(1?r)(1?r)?t ??d???1??dt经分析可知r?1是稳定的极限环。 7 函数变换法求解常微分方程 1）考虑函数变换法求解伯努利方程设
dydx?P(x)y?Q(x)yn （23）
这里n?0,1是常数。P(x)，Q(x)是x的连续函数。假设方程（23）有形如
y(x)?u(x)v(x)的解，则有
dydx?u'(x)v(x)?u(x)v'(x) （24）
将上式代入方程（23），整理可得
u(x)(v'(x?P(x)v(x))?Q(x)un(x)vn(x)?u'(x)v(x) （25） 若令
v'(x)?P(x)v(x)，则Q(x)un(x)vn(x)?u'(x)v(x)?0 （26） 用变量分离法可以求得
v(x)?ce?P(x)dx
若选取c?1，则v(x)?e?将v(x)?e?P(x)dxP(x)dx。
代入（26），求得
(n?1)?P(x)dx?u(x)??1?nQ(x)e?c???????1/1?n
文档
实用标准文案
于是，方程（23）的解为
y(x)?u(x)v(x)?e?P(x)dx?1?nQ(x)e(n?1)?P(x)dx?c????????1/1?n
特别的，当n?0时，得一阶线性非齐次方程
y(x)?e?P(x)dxdydx?P(x)y?Q(x)的解为
?Q(x)e??P(x)dx?c? ?????这与常数变易法求得的通解相一致。
2）考虑函数变换法求解Riccati方程的特解。设
dydx?P(x)y2?Q(x)y?R(x) （27）
其中P(x)、Q(x)、R(x)是其中某个区间内的一阶可微函数，且P(x)?0。设方程（27）有形如
y(x)?u(x)v(x) （28）
的解，则方程（27）可化为
u(x)(v'(x)?P(x)v(x))?R(x)?p(x)u2(x)v2(x)?u'(x)v(x) （29） 令
v'(x)?P(x)v(x)
求得
v(x)?ce?P(x)dx及u'(x)?R(x)?p(x)u2(x)v2(x)?u'(x)v(x) v(x)令
文档
实用标准文案
p(x)v(x)?g(x)，
R(x)?h(x) v(x)则上式化为
dydx?g(x)u2(x)?h(x)
此方程可通过公式法或者观察法求解u(x)，则Riccati方程的特解可表示出来。
8 三角变换法求解常微分方程
在求积分时，当被积函数有形如?(a2?x2)，a2?x2，x2?a2等形式时，可通过三角变换法求解。在常微分方程中，遇到此类形式的问题时，我们也可以考虑三角变换法。
1）对于Chebyshev方程：
d2ydx2xdyn2??y?0 ?x?1,n?0? （30） 21?xdx1?x做三角变换x?sint，并求得
dy，代入原方程，整理得 dt2dxd2y?n2y?0， dx2d2y由上式可解得
y?c1cosnt?c2sinnt
所以Chebyshev方程的解为
y?c1cos(narcsinx)?c2sin(narsinx)
文档
变量代换求解常微分方程
