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du?ug(nu)?uf(mu) ?dxxg(nu)由上式即可求解。 6）对于方程x??1化为变量分离方程
du?u?f(u)? dxxdy?f(xay)，这里?为常数，作变量变换u?x?y，是方程dx由上式即可求解。
7）对于方程M(x,y)(xdx?ydy)?N(x,y)(xdy?ydx)?0，其中M,N为关于x，y的其次函数，做变量变换u?
y
，化为变量分离方程 x
?duf(u)(u2?1)?M(x,y)?f(u)??? dxxM(x,y)u?N(x,y)??由上式即可求解。 8）对于Bernoulli方程
dy?P(x)y?Q(x)yn，这里P(x)，Q(x)为连续函 dx数，n?0,1为常数。当y?0时用y?n乘以原方程两边得
y?ndy?y1?nP(x)?Q(x) dx作变量代换
z?y1?n
使方程化为线性微分方程
dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)，可求解。 dx9）对于Riccati方程
dy?P(x)y2?Q(x)y?R(x)，当R(x)恒为零时，Riccatidx方程就是Bernoulli方程，可采用8）中的变换求解；
当R(x)不为零时，若y（x）为Riccati方程的一特解，作变量代换z?y?y(x)，使方程化为一个关于z的Bernoulli方程
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dz?P(x)z2?(2P(x)y(x)?Q(x))z dx由上式即可求解。
dy?P(x)y?Q(x)，若Q(x)=0，则方程dxP(x)dxdy?P(x)y，有通解y?ce?变为一阶齐次线性微分方程； dx10）对于一阶非齐次线性微分方程
若Q(x)?0对原方程作变量变换y?c(x)e?P(x)dx，求得待定函数
?P(x)dxc(x)??Q(x)e?dx?c，代会变换，即得方程的通解。
2 变量代换法求解二阶微分方程 1)对于二阶变系数齐次微分方程
d2ydy 2?p(x)?q(x)y?0 （1）
dxdx设y?y1?0是方程（1）的一特解，变量变换y?y1?tdx，将方程化为一阶线性微分方程y1dt?[2y'1?p(x)y1]t?0，可求解。 dx2)对于二阶变系数线性非齐次微分方程
d2ydy?p(x)?q(x)y?f(x) （2） 2dxdxq'(x)?2p(x)q(x)当方程（2）满足?c1（c1 为常数）时，作自变量代换
[q(x)]3/2t??c2q(x)dx（c2 为常数） （3）
则方程（3）可化为
?dyd2y?aq'(x)c2q(x)2???p(x)aq(x)??q(x)y?f(x) （4）
dt?2q(x)?dt方程（4）两边乘除以c2q(x)，得
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d2yq'(x)?2p(x)q(x)dy1f(x) （5） ???y?3/222dtdtcc2q(x)2c2?q(x)?由于
q'(x)?2p(x)q(x)?c1
[q(x)]3/2所以
q'(x)?2p(x)q(x)2c2?q(x)?3/2?1c1?c?常数，又2 为常数，
c2c2由此可知，方程（2）可化为二阶常系数线性微分方程
d2ydy1?c?y?g(t) 。 dt2dtc23 变量代换发求解三阶微分方程 1）考虑三阶变系数齐次微分方程
2d3y5dy4dyx?ax?ax?a0y?02132dxdxdx （6） 61当a1?6 和a2?6时，可作变换x? ，则方程（6）可化为
td3yd2y2dy?(6?a1?2a2)x?(6?a2)x2?a0y?0 （7） dx3dtdt将a1?6和a2?6代入（7）得到常系数齐次微分方程
d3y?a0y?0 dx32）考虑三阶变系数线性非齐次微分方程
'2???G?dy?G?dyG''2'dy3?aG?3?bG?3?3?aG?cGy?f(x) （8） ??????32dxG?dxGdx????G???3'2其中G?G(x) ，f(x) 都是x 的已知连续函数，且G(x)二次可微，
G(x)?0,a,b,c为常数。作自变量变换t??G(x)dx，则方程可化为
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2d3y3dy3dyG?aG?bG?cG3y?f(x) （9） 32dxdxdx3方程（9）两边同时除以G3(x)得到三阶常系数线性微分方程
d3yd2ydy?a?b?cy?g(t) dx3dx2dx4 变量代换发求解n阶微分方程 1） 考虑n阶非齐次线性微分方程
dnxdn?1x?a1(t)n?1?ndtdt?an?1(t)dx?an(t)x?f(t) （10） dt设方程（10）对应的n阶齐次微分方程
dnxdn?1x?a1(t)n?1?dtndt?an?1(t)dx?an(t)x?0 （11） dt通解为
x?c1x1(t)?c2x2(t)?作变量变换，令
?cnxn(t) （12）
x?c1(t)x1(t)?c2(t)x2(t)??cn(t)xn(t) （13）
n ，代入（13），即得
为（10）的通解。求出特定函数ci(t)???i?vi,i?1,2,（10）的通解。
2）考虑常系数非齐次线性微分方程
dnxdn?1xL[x]?n?a1n?1?dtdt?an?1dx?anx?pm(x)e?k （14） dt这里a1,a2,m?1?,an 是常数，pm(x)?b0tm?bt1作变量变换，?bm?1t?bm 。
令x?e?k，则方程可化为
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dnydn?1y?A1n?1?dtndt?An?1dy?Any?pm(x) （15） dt
其中A1,A2...,An都是常数。对于方程(15)可采用比较系数法求得一特解
y?tk(B0tm?B1tm?1?...?Bm?1t?Bm)
故(14)有特解x?tk(B0tm?B1tm?1?...?Bm?1t?Bm)e?x, 其中k 为特征方程F(λ)=0 的根λ的重数。
3)对于n 阶微分方程 F (t,x,x'…,x(n))=0 , 当方程不显含未知函数x , 或更一般地, 设方程不含x, x'…,x(n), 即方程:
F(t,x(k),x(k?1),...,x(n))?0 (1? k ?n) (16)
作变量变换, 令y = x(k), 可将方程降为关于y 的 n-k 阶方程
F(t,y,y',...,yn?k)?0
4)对于 n 阶微分方程F(t,x(k),x(k?1),...,x(n))?0 ,当方程不显含自变量t , 即方程
F(x(k),x(k?1),...,x(n))?0 (17)
作变量变换, 令x′=y , 采用数学归纳法不难证明, x(k)可用y ,
dy ,…, dxdk?1y表示出(k ≤n), 将这些表达式代入方程(17), 可使方程化为关于x , y dxk?1的n -1 阶方程
?dydk?1y?G?x,y,,...,k?1??0
dxdx??5 变量代换法求解 Euler 方程
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变量代换求解常微分方程
