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题目：
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变量代换求解常微分方程
院 （系）： 理学院 专 业： 信息与计算科学
学 生： 郝腾宇
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摘 要
本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化为可解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。
变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。常微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解 。其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。本文就变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。
关键词：常微分方程、变量代换法、通解、特解
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目 录
一、
变量代换法求解一阶微分方
程……………………………………………………………3 二、
变量代换法求解二阶微分方
程…………………………………………………………………6
三、 变量代换法求解三阶微分方
程…………………………………………………………………7
四、 变量代换法求解n阶微分方
程…………………………………………………………………7
五、 变量代换法求解Euler阶微分方
程……………………………………………………………9
六、 变量代换法在研究解或轨线性态中的应
用…………………………………………….10
七、 函数变换法求解常微分方
程……………………………………………………………………11
八、 三角变换法求解常微分方
程……………………………………………………………………13
九、 拉普拉斯变换求解常微分方
程………………………………………………………… ……14
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1变量代换法求解一阶微分方程
dya1x?b1y?c1?y?1）对于齐次微分方程 是u的连续 ?g?? ，这里?dxxdax?by?c??x222函数，做变量代换u?
dyg?u??uyd，使方程化为变量分离方程u?，可求解。 xdxxdydx?a1x?b1y?c1，这里a1，b1，c1，a2，b2，c2均
a2x?b2y?c22)对于准齐次微分方程为常数。
①当
dya1b1c1??=k（常数）时，方程直接化为?k，有通解： a2b2c2dx
y?kx?c(c为常数)
②当程
a1b1c??k?1时，做变量代换u?a2x?b2y，将方程化为变量分离方a2b2c2duku?c1 ?a2?b2dxu?c2由上式可求解。
a1b1?X?x???③当时，做变换?，其中??,??为直线a1x?b1y?c1?0
a2b2Y?y???和直线a2x?b2y?c2?0在xoy平面的交点，将方程转化为齐次方程
dYa1X?bY?Y1??g?dXa2X?b2Y?X由上式可求解。
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3）对于更一般的类型
dy?ax?b1y?c1????1?，这里a1，b1，c1，a2，b2， dxax?by?c?222?c2均为常数 ①当
da1b1c1??=k（常数）时，方程直接转化为y?f(k)，有通解 a2b2c2dxy?f(k)x?c；
②当
a1b1c??k?1时，做变量代换u?a2?b2y，将方程化为变量分离方 a2b2c2程
duku?c1?a2?b2f() dxu?c2由上式可求解。 ③当
a1b1?X?x???时，作变换?，其中（?,?）为直线a1x?b1y?c1?0 a2b2?Y?y??和直线a2x?b2y?c2?0在xoy平面的交点，将方程化为齐次方程
?aX?bYdY1?f?1dX?a2X?b2Y??Y??f??g(X)?
???由上式即可求解。 4）对于方程
dy?f(ax?by?c)，这里a，b，c均为常数，作变量代换dxu?ax?by?c，将方程化为变量分离方程
du?a?bf(u) dx由上式可求解。
5）对于方程yf(mx?y)dx?xg(nx?y)dy?0，这里m，n，?均为常数，作变量变换u?x?y，将方程化为变量分离方程
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变量代换求解常微分方程
