一元二次不等式及其解法教案
【教学目标】
1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的 关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力， 培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过 程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、 方程的联系， 获 得一元二次不等式的解法； 3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于 创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】
一、 课题导入
1、在初中，我们解过一元一次不等式，如解不等式
x - 1 > 0 ,
现在请同学们先画出函数y二x - 1的图象，并通过观察图象回 答以下问题 :
1 ) x 为何值时， y = 0; 2) x 为何值时， y > 0;
3) x 为何值时， y < 0;
2、从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 学校要在长为 8, 宽为 6 的一块长方形地面上进行绿化 , 计划四周种 花卉,花卉带的宽度相同 , 中间种植草坪 （图中阴影部分 ）为了美观 , 现 要求草坪的种植面积超过总面积的一半 , 此时花卉带的宽度的取值范 围是什么?
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：
2
x 7x 6 0
二、讲授新课
1 、一元二次不等式的定义
2
.............. （1）
象这样， x 7x 6 0 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是 2 的不等式，称为一元二次不等式
2、探究一元二次不等式 x 7x 6 0 的解集 怎样求不等式（ 1）的解集呢？ 探究：
（ 1 ）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根： x1 1,x2 6
二次函数有两个零点： x1 1,x2 6 于是，我们得到：二次方程的根
就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集 画出二次函数 y x 5x 的图象，观察函数图象，可知：
2
2
2
2
当x 2 2 7x 6 0 ; 7x 6 0不等式的解集是{ x|x<1或x>6 },从而解决 了本节开始时提出的问题。 (3)探究一般的一元二次不等式的解法 任意的一元二次不等式，总可以化为以下形式： ax bx c 0,(a 2 0)或 ax bx c 0,(a 2 0) 一般地，怎样确定一元二次不等式的解集呢？ 组织讨论： 从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等 式的解集，关键要考虑以下两点： (1)抛物线y ax bx c与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次 方程ax bx c=0的根的情况 2 2 ⑵ 抛物线y ax bx c的开口方向，也就是a的符号 总结讨论结果： (I )抛物线 y ax bx c (a> 0 )与x轴的相关位置，分为三种 情况，这可以由一元二次方程 ax bx c=0的判别式 22 2 b 4ac三种 2 取值情况(△ > 0,4 =0,4 <0)来确定.因此，要分三种情况讨论 (2) a<0可以转化为a>0 0 0 0 二次函数 y ax bx c 2(a 0)的图象 一兀一次方程 有两相异实根 ax2有两相等实根 b X1 X2 — bx c 0 X1,X2(X1 X2) a 0的根 ax2 bx c 0 (a 0)的解集 2a X： x 无实根 R X :x 為或x x 2b —— 2a ax bx c 0 (a 0)的解集 ) 22R R X X X 或 X X 21b X X X x 12 X :X 2a 三、例题解析 2 例1、解不等式2x 3x 2 解：原不等式等价于(2x 1)(x 2 0 2) 0 1 方程2x 3x 2 0的解是Xi 所以，原不等式的解集是： 2 -,X 2 2 1 、 x| x —或x 2 2 例2、解不等式 3X 6x 2 2 解: 原不等式可变形为3X 6x 2 2 0 1 0,方程3X 6x 2 20的解为 111或 1虫 X1 或 X2 3 1 3 所以，原不等式的解集为 x|1 — x 1 3 0的解集. — 3 例3、求不等式4x 4x 1 解：因为 0,方程4x 22 4x 1 0的解是Xi X2 -. 2 所以，原不等式的解集是 XX 2 通过例题让学生总结解一元二次不等式的步骤 一看：看二次项系数是否为正，若为负化为正 二算：算△及对应方程的根 三写：由对应方程的根，结合不等号的方向，根据函数图象写出不等 式的解集。 四、 随堂练习（让学生讨论演板展示） 1、 解下列不等式 （） 3x 5x 0 2 1 （2） x 2x 3 0 2、 求函数y . 2% x 5的定义域。 2 五、 课时小结 1. 一元二次不等式的定义与一般形式. 2. 三个“二次”的关系.
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