复习：随机变量及其分布
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目标认知 考试大纲要求：
1. 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
2. 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，
并能解决一些实际问题.
3. 理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 4. 理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.
重点：
离散型随机变量及其分布列的概念，离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.
难点：
正确写出离散型随机变量的分布列，求出均值与方差。
知识要点梳理
知识点一：离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母
等表示。
2．离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机
变量；
若是随机变量，性（离散型、连续型）。
3．离散性随机变量的分布列：
设离散型随机变量可能取得值为x1,x2,?,x3,?,若取每一个值xi(i=1,2,?)的概率为
P ，则称表 x1 P1 x2 P2 ? ? xi Pi ? ? 其中a,b是常数，则也是随机变量，并且不改变其属
为随机变量的概率分布，简称的分布列. 4．离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： （1）pi≥0,i=1,2?； （2）P1+P2+?=1
知识点二：离散型随机变量的二点分布
如果随机变量X的分布列为 P 1 服从参数为
的两点分布。
0 称离散型随机变量
知识点三：离散型随机变量的二项分布
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量，如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，
于是得到随机变量的概率分布如下： 0 1 ? K ? N p 恰好是二项展开式
? ? 由于
中的各项的值，所以称这
样的随机变量服从二项分布，记作～
若～
，则
，
。
，其中n,p为参数，并记
知识点四：离散型随机变量的几何分布
独立重复试验中，某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量。
表示在第k次独立重复试验时该事件第一次发生，
且
如果把第k次重复试验时事件A发生记作Ak，事件A不发生记作
那么离散型随机变量ξ的概率分布是： ξ P 1 P 2 (1-P)P 3 (1-P)P 2
? ? 其中
k (1-P)P
k-1? ? 称这样的随机变量服从几何分布，记作
若随机变量服从几何分布
，则，
知识点五：超几何分布
在含M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件概率为：
发生的
，其中，
称分布列 0 1 ? ? 为超几何分布列。离散型随机变量X服从超几何分布。
若随机变量X服从超几何分布
。
，则，
知识点六：离散型随机变量的期望与方差
1、离散型随机变量的期望：
一般地，若离散型随机变量的概率分布为 p 则称均值。
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平或集中位置， 若
（a,b是常数），
。
x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ? 的数学期望，简称期望，又称为平均数、
二项分布的期望：
若离散型随机变量ξ服从二项分布，即 几何分布的期望：
若离散型随机变量ξ服从几何分布，且
2、离散型随机变量的方差：
对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是x1,x2,?xn,?，且取这些值的概率分
别是p1,p2,?,pn,?，那么，
称为随机变量的均
方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望。 Dξ的算术平方根
叫做随机变量ξ的标准差，记作
。
随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。 若
（a,b是常数），ξ是随机变量，则D（aξ+b）=aDξ。
2
二项分布的方差：
若离散型随机变量ξ服从二项分布，即 几何分布的方差：
若离散型随机变量ξ服从几何分布，且
规律方法指导
①由于理科学习了计数原理和条件概率以及相互独立事件的概率，在概率的计算上理科出题的范围非常广，要求会用计数原理和排列、组合的知识计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 高考中经常把概率的计算问题放在离散型随机变量的分布列中考查. 对于离散型随机变量的均值与方差特别要注意几个基本概率模型.考查离散型随机变量的分布列以及均值与方差问题是高考中的热点问题.
②求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出取各个值的概率即必须解决好两个问题，一是求出的所有取值，二是求出取每一个值时的概率，同时按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证. ③求离散型随机变量的均值（期望）和方差,重要的是能正确写出分布列.在解题时要注意判断一个实际问题是否属于二项分布，成功概率是多少，找出其他随机变量与二项分布的随机变是间的关系式，利用二项分布的均值与方差的计算公式求解.
经典例题精析
类型一：独立重复试验的概率
1、把n个不同的球随机地放入编号为1，2，?，m的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率
法一：用独立重复试验的概率公式
把1个球放入m个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P=
，
高考总复习 随机变量及其分布
