幂函数与二次函数
知识讲解
一、幂函数
1.幂函数的定义
定义：一般地，函数y?xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．
2.幂函数的图象
幂函数y?xa
111）当a?,,1,2,3时的图象见下图；
32yg(x) = x21q(x) = x2of(x) = xxh(x) = x3
12）当a??2,?1,?时的图象见下图：
2yg(x) = x21r(x) = x()12of(x) = x11x
3.由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：
y?xa有下列性质：
1）a?0时：
①图象都通过点(0,0)，(1,1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0,??)上是增函数． 2）a?0时：
①图象都通过点(1,1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0,??)上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．3）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； 4）任何幂函数图象都不经过第四象限； 5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
二、二次函数
1.定义：函数f(x)=ax2+bx+c(a10)叫做二次函数． 2.表现形式
一般式：f(x)=ax2+bx+c(a10)．
顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a10)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标．两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a10)．
3.二次函数的性质
1）开口方向：??a?0?向上?a?0?向下
2）对称轴：x??b2a（或x?h） 3）顶点坐标：(?b4ac?b22a,4a)（或(h,k)）
4）最值：
① a?0时有最小值
4ac?b24a（或k）（如图1）； ② a?0时有最大值
4ac?b24a（或k）（如图2）；
图1图2 5）单调性：二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的变化情况（增减性） ① 如图1所示，当a?0时，对称轴左侧x??侧x??b，y随着x的增大而减小，在对称轴的右2ab，y随x的增大而增大； 2a② 如图2所示，当a?0时，对称轴左侧x??侧x??b，y随着x的增大而增大，在对称轴的右2ab，y随x的增大而减小； 2a6）与坐标轴的交点： ① 与y轴的交点：（0，C）；
② 与x轴的交点：使方程ax2?bx?c?0（或a(x?h)2?k?0）成立的x值．
4.二次函数图象与系数的关系
1）a决定抛物线的开口方向
当a?0时，抛物线开口向上；当a?0时，抛物线开口向下．反之亦然．
a决定抛物线的开口大小：a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大．
注意：几条抛物线的解析式中，若
a相等，则其形状相同，即若a相等，则开口及形状相
同，若a互为相反数，则形状相同、开口相反．
2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：x??当b?0时，抛物线的对称轴为y轴； 当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧； 当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧．
c)） 3）c的大小决定抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为(0，b） 2a当c?0时，抛物线与y轴的交点为原点； 当c?0时，交点在y轴的正半轴； 当c?0时，交点在y轴的负半轴．
经典例题
一．选择题（共12小题）
1．（2017秋?海淀区期末）若幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（ ） A．为增函数
2．（2024?洛阳二模）已知点（a，）在幂函数f（x）=（a﹣1）xb的图象上，则
B．为减函数 C．有最小值 D．有最大值
函数f（x）是（ ） A．奇函数 B．偶函数
C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数
3．（2017秋?沈阳期末）幂函数的图象经过点 ， ，则f（2）的值等于（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2017秋?惠州期末）若幂函数y=f（x）经过点 ， ，则此函数在定义域
上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数
5．（2016秋?唐山期末）已知幂函数f（x）=λ?xα的图象过点 ， ，则λ+α=
（ ）
A．2
B．1
C． D．
6．（2016秋?雅安期末）已知幂函数y=f（x）过点（2，8），则f（3）=（ ） A．27 B．9
7．（2016秋?中山市期末）若幂函数y=f（x）是经过点（3，），则此函数在定
C．8 D．4
义域上是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．增函数 D．减函数
8．（2016秋?越秀区期末）若幂函数f（x）=x的图象经过点（2，），则f（4）
n
=（ ） A．﹣
9．（2016秋?潍坊期末）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，4），则（f2）=（ ）
A． B．1 C．2 D．4
B．
C． D．2
10．（2016秋?沙河市校级期末）在函数 函数有（ ）个． A．1
B．2
C．3
D．4
2
， ，y=x+x，y=1中，幂
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