第一课 统计案例
[核心速填]
1．线性回归方程
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回归直线y＝bxn? xi－x＋a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝
nyi－y＝
^i＝1
? xi－xi＝1
n2
?xiyi－n x yi＝1
，a＝y－bx，其中(x，y)称为样本点的
ni－nx?x2i＝1
2
^^中心．
2．线性回归模型为y＝bx＋a＋e，其中e为随机误差． 3．残差ei＝yi－yi. 4．刻画回归效果的方法 (1)残差平方和法
n^^残差平方和? (yi－y)越小，模型拟合效果越好．
2
^i＝1
(2)残差图法
残差图形成的带状区域的宽度越窄，模型拟合效果越好． (3)相关指数R法
2
R2越接近1，模型拟合效果越好．
5．K公式
2
K＝2
a＋cnad－bc2
b＋da＋bc＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.
[题型探究]
线性回归分析 某城市理论预测2014年到2018年人口总数与年份的关系如表所示： 年份201x(年) 0 1 2 3 4 1
人口数y(十万) (1)请画出上表数据的散点图； 5 7 8 11 19 (2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a； (3)据此估计2022年该市人口总数.
【导学号：48662025】
[解] (1)散点图如图：
^^^
(2)因为x＝
0＋1＋2＋3＋4
＝2，
5
y＝
5＋7＋8＋11＋19
＝10，
5
0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132， 0＋1＋2＋3＋4＝30， 所以b＝
2
2
2
2
2
^132－5×2×10
30－5×2
2＝3.2，
^^a＝y－bx＝3.6.
所以线性回归方程为y＝3.2x＋3.6. (3)令x＝8，则y＝3.2×8＋3.6＝29.2， 故估计2020年该城市人口总数为29.2(十万)． [规律方法] 解决回归分析问题的一般步骤 (1)画散点图.根据已知数据画出散点图. (2)判断变量的相关性并求回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程. (3)回归分析.画残差图或计算R，进行残差分析. (4)实际应用.依据求得的回归方程解决实际问题. [跟踪训练] 1．在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：
2^^x(元) y(件) 14 12 16 10 18 7 20 5 22 3 且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程，并说明拟合效果的好坏． 2
1
[解] x＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
5
y＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
5
22222
i＝14＋16＋18＋20＋22＝1 660， ?x2
15
i＝1
5
22222
i＝12＋10＋7＋5＋3＝327， ?y2
i＝1
5
?xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
i＝1
5
?xiyi－5 x y^所以b＝
i＝1
5
620－5×18×7.4＝2＝－1.15，
1 660－5×18
2
i－5x?x2i＝1
所以a＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以y对x的线性回归方程为y＝－1.15x＋28.1， 列出残差表为
^^^yi－yi yi－y 5
0 4.6 0.3 2.6 －0.4 －0.4 －0.1 －2.4 0.2 －4.4 所以? (yi－yi)＝0.3，
2
^i＝1
5
? (yi－y)2＝53.2，
i＝1
^
? yi－yii＝1
5
2
R＝1－
5
2
≈0.994.
? yi－yi＝12
2
所以R≈0.994，拟合效果较好.
独立性检验 3
人教版2020高中数学 第1章 统计案例阶段复习课学案 新人教A版选修1-2
