又∵a2+b2＝c2， ∴ab＝15．
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝34+2×15＝64， ∴a+b＝8， ∴a+b+c＝8+故答案是：8+
． ．
13．用直角边是a，b斜边是c的四个全等直角三角形（图①）拼成②图． 观察图形并思考，填空：大正方形的面积可表示为：（a+b）2 （1）这个大正方形的面积还可以怎样表示？ c2+2ab
（2）于是可列等式为 （a+b）2＝c2+2ab ，将等式化简、整理得 a2+b2＝c2 ．
【分析】（1）大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积； （2）根据大正方形的面积不变列出等式并整理．
【解答】解：（1）依题意得：大正方形的面积可表示为：c2+4×ab＝c2+2ab． 故答案是：c2+2ab．
（2）依题意得：（a+b）2＝c2+2ab． 整理得：a2+b2＝c2．
故答案是：（a+b）2＝c2+2ab．a2+b2＝c2．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝ 9 ． 【分析】设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，再根据勾股定理即可得出答案． 【解答】解：设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，
∴9x2+16x2＝152，
解得：x＝3或﹣3（舍去），∴BC＝3x＝9． 故答案为：9．
15．一个直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则第三边为 5 ． 【分析】根据勾股定理计算即可． 【解答】解：由勾股定理得：第三边为：故答案为：5．
16．直角三角形的两边为3和4，则该三角形的第三边为 5或 ．
＝5，
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【解答】解：设第三边为x，
（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得： 32+42＝x2，所以x＝5；
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得： 32+x2＝42，所以x＝所以第三边的长为5或故答案为：5或
．
．
； ．
17．一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边长为 13或【分析】只给出了两条边而没有指明是直角边还是斜边，所以应该分两种情况进行分析．一种是两边均为直角边；另一种是较长的边是斜边，根据勾股定理可求得第三边． 【解答】解：①12和5均为直角边，则第三边为②12为斜边，5为直角边，则第三边为故答案为：13或
．
＝
＝13． ．
18．一个直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边为6，则斜边长为 10 ． 【分析】设斜边为x，根据勾股定理列方程即可解答． 【解答】解：设斜边为x， 则x2＝（x﹣2）2+62解得x＝10．
19．如图，以一个单位长度为边画一个正方形，以正方形的对角线为半径画弧，弧与数轴的交点表示两个数为： 1﹣ 、 1+ ．
上面的操作说明：数和数轴上的点一一对应．
【分析】根据题意知，DO＝OA＝OB，所以在正方形中利用勾股定理求得对角线OD的长度，再结合图形根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解． 【解答】解：∵DO2＝12+12＝2， ∴DO＝
，
∵点A在1左边，点B在1右边． ∴点A表示的实数是1﹣故答案是：1﹣
，1+
，点B表示的实数是1+．
；
20．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝2，则图中阴影部分的面积和为 2 ．
【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍． 【解答】解：设两条直角边是a，b，则a2+b2＝22， 则S阴影＝（故答案为：2．
a）2+（
b）2+×（
）2＝×（a2+b2）+1＝×4+1＝2，
三．解答题（共5小题）
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2
﹣BN2＝AC2．
【分析】在直角三角形BNM和ANM中利用勾股定理可以得到BN2＝BM2﹣MN2，AN2＝AM2﹣MN2，然后得到BN2﹣AN2＝（BM2﹣MN2）﹣（AM2﹣MN2）＝BM2﹣AM2；又在直角三角形AMC中，AM2＝AC2+CM2，代入前面的式子中即可得出结论． 【解答】证明：∵MN⊥AB于N， ∴BN2＝BM2﹣MN2，AN2＝AM2﹣MN2 ∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AM2， 又∵∠C＝90°， ∴AM2＝AC2+CM2
∴BN2﹣AN2＝BM2﹣AC2﹣CM2， 又∵BM＝CM， ∴BN2﹣AN2＝﹣AC2， 即AN2﹣BN2＝AC2．
22．如图，已知在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC边上的高AD＝8，求BC边的长．
【分析】如图，运用勾股定理直接求出BD、CD的长度，即可解决问题． 【解答】解：如图，∵AD⊥BC， ∴BD2＝122﹣82，CD2＝102﹣82， ∴BD＝∴BC＝6+
，CD＝6， ．
23．正方形网格中的每个小正方形边长都是1， （1）请在图中画出等腰△ABC，使AB＝AC＝（2）在△ABC中，AB边上的高为
．
，BC＝
；
【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可； （2）利用三角形的面积，构建方程求解即可； 【解答】解：（1）△ABC如图所示．
（2）设CD⊥AB，
∵S△ABC＝?AB?CD＝4﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×1， ∴CD＝故答案为
， ．
24．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边． （1）若b＝2，c＝3，求a的值；
（2）若a：c＝3：5，b＝16，求△ABC的面积． 【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可；
（2）设a＝3x，c＝5x，由勾股定理可求出x的值，进而可求出求△ABC的面积． 【解答】解：
（1）∵△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝3， ∴a＝
＝
；
（2）∵a：c＝3：5，
∴设a＝3x，c＝5x， ∵b＝16， ∴9x2+162＝25x2， 解得：x＝4， ∴a＝12，
∴△ABC的面积＝×12×16＝96．
25．如图．大正方形是由4个相等的直角三角形和一个小正方形拼成的． （1）在左图中，已知AE＝3，AF＝4，求小正方形的面积； （2）在右图中，已知AE＝a，AF＝b，求大正方形的面积．
【分析】（1）在直角△AEF中利用勾股定理求得EF2，则小正方形的面积等于EF2，据此即可求解；
（2）在直角△AEF中利用勾股定理求得EF2，则大正方形的面积等于EF2，据此即可求解．
【解答】解：（1）在直角△AEF中，EF2＝AE2+AF2＝32+42＝25，则小正方形的面积是25；
（2）在直角△AEF中，EF2＝AE2+AF2＝a2+b2，则大正方形的面积是a2+b2．
人教版八年级下册：17.1 勾股定理同步练习题（含答案解析）
