高中数学必修4教案
例6．求函数y?cosxcosx?tanx的值域 tanx解： 定义域：cosx?0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx?0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时，x?0,y?0 cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 ????Ⅱ????,x?0,y?0 |cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2
x?0,y?0????ⅢⅣ???, x |cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0 ?0,y?0四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式。
五、巩固与练习
1、教材P15面练习；
2、作业P20面习题1．２A组第1、2、3（1）（2）（3）题及P21面第9题的（1）、（3）题。
4-1.2.2同角三角函数的基本关系
教学目的：
知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联
系；
2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分
析、解决三角的思维能力；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程： 一、复习引入：
1．任意角的三角函数定义：
设角?是一个任意角，?终边上任意一点P(x,y)，它与原点的距离为
r(r?|x|2?|y|2?x2?y2?0)，那么：sin??yxy，cos??，tan??， rrx2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα的符号分别是怎样的？ 3．背景：如果sinA?3，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值； 54．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？
二、讲解新课：
（一）同角三角函数的基本关系式：
（板书课题：同角的三角函数的基本关系）
1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
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（1）商数关系：tan??说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin4??cos4??1等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
22sin?22 （2）平方关系：sin??con??1 con?tan??cot??1(??k?,k?Z)； 2sin?等。 tan?③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
cos???1?sin2?， sin2??1?cos2?， cos??2．例题分析： 一、求值问题 例1．（1）已知sin??（2）已知cos???12，并且?是第二象限角，求cos?,tan?,cot?． 134，求sin?,tan?． 5221225222解：（1）∵sin??cos??1， ∴cos??1?sin??1?()?()
1313又∵?是第二象限角， ∴cos??0，即有cos???5，从而 13tan??sin?1215??cot????cos?5， tan?12
2222（2）∵sin??cos??1， ∴sin??1?cos??1?(?)?()，
4523524?0， ∴?在第二或三象限角。 53sin?3??； 当?在第二象限时，即有sin??0，从而sin??，tan??5cos?43sin?3?． 当?在第四象限时，即有sin??0，从而sin???，tan??5cos?4又∵cos???总结：
1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值
中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方
关系开平方时，漏掉了负的平方根。
例2．已知tan?为非零实数，用tan?表示sin?,cos?．
22解：∵sin??cos??1，tan??sin?， cos?1，
1?tan2?∴(cos??tan?)?cos22??cos2?(1?tan2?)?1，即有cos2??又∵tan?为非零实数，∴?为象限角。
11?tan2?当?在第一、四象限时，即有cos??0，从而cos??， ?221?tan?1?tan? 12 高中数学必修4教案
tan?1?tan2? sin??tan??cos??； 21?tan?11?tan2?当?在第二、三象限时，即有cos??0，从而cos???， ??221?tan?1?tan?tan?1?tan2? sin??tan??cos???．
1?tan2?sin??4cos?例3、已知sin??2cos?，求 ⑵2sin2??2sin?cos??cos2?．5sin??2cos?
解：?sin??2cos??tan??2
?sin??4cos?tan??4?21????
5sin??2cos?5tan??2126 强调（指出）技巧：1? 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式
注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以cos?,将分子、分母转化为tan?的代数式； 2? “化1法” 可利用平方关系sin??cos??1，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为tan?的分式求值；
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：
（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低； （2）尽量使分母不含三角函数式； （3）根式内的三角函数式尽量开出来；
（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形， 二、化简
练习1．化简1?sin2440?．
22?cos280??cos80?．
1?cos?1?cos?3?练习2．化简 ? (????)
1?cos?1?cos?2解：原式三、证明恒等式
?1?sin2(360??80?)?1?sin280?cosx1?sinx?．
1?sinxcosx证法一：由题义知cosx?0，所以1?sinx?0,1?sinx?0．
cosx(1?sinx)cosx(1?sinx)1?sinx??右边． ?∴左边=
cosx(1?sinx)(1?sinx)cos2x例4．求证：
∴原式成立．
证法二：由题义知cosx?0，所以1?sinx?0,1?sinx?0． 又∵(1?sinx)(1?sinx)?1?sinx?cosx?cosx?cosx，
22cosx1?sinx?．
1?sinxcosx证法三：由题义知cosx?0，所以1?sinx?0,1?sinx?0．
∴
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cosx1?sinxcosx?cosx?(1?sinx)(1?sinx)cos2x?1?sin2x????0，
1?sinxcosx(1?sinx)cosx(1?sinx)cosxcosx1?sinx?∴．
1?sinxcosx总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边； （2）证明左右两边同等于同一个式子；
（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。 四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值； 五、课后作业：《习案》作业第 五 课时
参考资料
化简1?2sin40?cos40?．
解：原式?sin240??cos240??2sin40?cos40? ?
(sin40??cos40?)2?|cos40??sin40?|?cos40??sin40?．
1(0????)，求tan?及sin3??cos3?的值。 512?,0????,得：cos??0???(,?) 解：1? 由sin?cos???2524972,得：sin??cos?? 由(sin??cos?)? 联立： 255思考1．已知sin??cos???sin??cos??????sin??cos????3314?sin??5??5?tan???4
?733?cos???55?4533391
51254?2mm?3,cos??,?是第四象限角， 求tan?的值。2、已知sin?? m?5m?54?2m2m?3222
)?()?1 解：∵sin? + cos? = 1 ∴(m?5m?52? sin??cos??()?(?)?化简，整理得：m(m?8)?0当m = 0时，sin???m1?0,m2?8
43,cos???，(与?是第四象限角不合） 5512512当m = 8时，sin???,cos??，?tan???
13135
1．3诱导公式（一）
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教学目标
（一）知识与技能目标
⑴理解正弦、余弦的诱导公式． ⑵培养学生化归、转化的能力． （二）过程与能力目标
（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．
（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． （三）情感与态度目标
通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质． 教学重点
掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式． 教学难点
运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 教学过程 一、复习： 诱导公式（一）
sin(360?k??)?sin? cos(360?k??)?cos?诱导公式（二）
tan(360?k??)?tan?
sin(180???)??sin? cos(180???)??cos?
诱导公式（三）
tan(180???)?tan? sin(??)??sin? cos(??)?cos?诱导公式（四）
tan(??)??tan?
tan(180???)??tan?
sin(180???)?sin? cos(180???)??cos?对于五组诱导公式的理解 ：
①公式中的?可以是任意角； ②这四组诱导公式可以概括为：
???,???,的三角函数值，等于它的同名
三角函数值， 前面加上一个把?看成锐角时原函数值的符号。总结为一句话：函数名不变，符号看象限 练习1：P27面作业1、2、3、4。
2：P25面的例2：化简 二、新课讲授：
1、诱导公式（五） sin(2、诱导公式（六） sin(2k???(k?Z), ??, ?2??)?cos? cos(?2??)?sin?
?2??)?cos? cos(?2??)??sin?
总结为一句话：函数正变余，符号看象限
例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：
(1)tan3?31?17, (2)sin, (3)cos519?, (4)sin(??). 5363练习3：求下列函数值：
65?31?, (2)sin(?), (3)sin670?, (4)tan580?). 643???)??cos? 例2．证明：（1）sin(2(1)cos 15
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