2012中考数学压轴题及答案40例（1）
1.如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线y?ax2?bx?c的对称轴为x??b） 2a
解：设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a?0)，
1?a????9a?3b?4?0?3依题意得：c=4且? 解得?
116a?4b?4?0??b??3? 所以 所求的抛物线的解析式为y??x2?（2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB?131x?4 3AO2?BO2?32?42?5
所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2 因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB
DQCDDQ210??,DQ? 即ABCA577所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –
10252525= ，t? ?1?7777所以t的值是
25 7（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
b1?所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于2a211直线x?对称连接AQ交直线x?于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x
22理由：因为抛物线的对称轴为x??轴，于E，所以∠QED=∠BOA=90 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△
10QEDQDE86QEDEABO 即 所以QE=，DE=，所以OE = ???7?BOABAO77453620208OD + DE=2+=，所以Q（，）
77778?20?k?m?设直线AQ的解析式为y?kx?m(k?0)则?77 由此得
???3k?m?01?x??824?2所以直线AQ的解析式为y? x? 联立?4141?y?8x?24??41411?x??由此得?2 ??y?8x?24??41418?k???41 ?24?m???41 所以M(128128,)则：在对称轴上存在点M(,)，使MQ+MC241241的值最小。
2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象的顶点为D点，
与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），
OB＝OC ，tan∠ACO＝． （1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，
使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
13（3）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
（1）由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1分
?a?b?c?0?将A、B、C三点的坐标代入得?9a?3b?c?0 ……………………2分
?c??3??a?1?解得：?b??2 ……………………3
?c??3?分
所以这个二次函数的表达式为：y?x2?2x?3 ……………………3分 （2）存在，F点的坐标为（2，－3） ……………………4分 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3
∴E点的坐标为（－3，0） ……………………4分
由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，－3） ……………………5分
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为y??x?1．……………8分
设P（x，x2?2x?3），则Q（x，－x－1），PQ??x2?x?2．
S?APG?S?APQ?S?GPQ?分
当x?
1(?x2?x?2)?3 ……………………921
时，△APG的面积最大 2
?1?215?27?，S?APG的最大值为． ……………………104?8此时P点的坐标为?,?分
3.如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，
3）。
⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;
⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。
⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为y?ax2?bx?3(a?0)………1分
?a?b?3?0,?a??1,根据题意，得?，解得?
9a?3b?3?0,b?2.??∴抛物线的解析式为y??x2?2x?3………………………………………2分 ⑵存在。…………………………………………………………………………3分 由y??x2?2x?3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。…………4分 ①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，
得x2?(3?y)2?(x?1)2?(4?y)2，即y＝4－x。…………………………5分 又P点(x,y)在抛物线上，∴4?x??x2?2x?3，即x2?3x?1?0…………6分 解得x?3?53?53?5?1，应舍去。∴x?，。……………………7分
222∴y?4?x??3?55?5?5?5?。……………………8分 ，即点P坐标为?,?22??2?②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点
C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。 ∴符合条件的点P坐标为??3?55?5???2,2?或（2，3）。……………………9分 ??⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,
得CB＝32,CD＝2,BD＝25,………………………………………………10分 ∴CB2?CD2?BD2?20,
∴∠BCD＝90°,………………………………………………………………………11分 设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中， ∵CF＝DF＝1, ∴∠CDF＝45°,
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3）， ∴DM∥BC,
∴四边形BCDM为直角梯形, ………………12分 由∠BCD＝90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况; 以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。 综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。……………13分
中考数学压轴题及答案40例
