课时作业23 正弦定理和余弦定理 [基础达标] 一、选择题 ππ1．在△ABC中，若A＝，B＝，BC＝32，则AC＝( ) 34A.3 B.3 2C．23 D．45 BCAC解析：由正弦定理得：＝， sinAsinBπ32×sin4BC·sinB即有AC＝＝＝23. sinAπsin3答案：C 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的形状为( ) A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 sinAaaa解析：∵＝，∴＝，∴b＝c. sinBcbc又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b＋c－a＝bc， b＋c－abc1∴cosA＝＝＝. 2bc2bc2π∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形． 3答案：C a＋b－c3．[2018·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则4C＝( ) A.C.ππ B. 23ππ D. 46222222222222sinAa＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABCsinBc1a＋b－c2abcosC1解析：∵S＝absinC＝＝＝abcosC， 2442
∴sinC＝cosC，即tanC＝1. π∵C∈(0，π)，∴C＝.故选C. 4答案：C 4．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( ) A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 ab解析：∵＝， sinAsinBb24∴sinB＝sinA＝sin45°， a1822∴sinB＝. 3又∵a 得AC＝AB＋BC－2AB·BCcosB＝7，得AC＝7.又BD是△ABC外接圆的直径，所以由正弦定理可得BD＝7＝27. sin30°答案：27 7．在△ABC中，若b＝asinC，c＝acosB，则△ABC的形状为________． 222ACsinB＝bsinBa＋c－b222解析：由b＝asinC可知＝sinC＝，由c＝acosB可知c＝a·，整理得b＋c＝a，即asinC2ac三角形一定是直角三角形，A＝90°，∴sinC＝sinB，∴B＝C，即b＝c， 故△ABC为等腰直角三角形． 答案：等腰直角三角形 8．[2019·福州检测]在钝角三角形ABC中，AB＝3，BC＝3，A＝30°，则△ABC的面积为________． 解析：由已知及余弦定理，得BC＝AB＋AC－2AB·ACcosA，即3＝9＋AC－33AC，解得AC＝3或1AC＝23.当AC＝BC＝3时，C＝180°－2×30°＝120°，满足题意，此时△ABC的面积为AC·BCsinC＝23333222；当AC＝23，AB＋BC＝AC，则B＝90°，不满足题意，应舍去．综上，△ABC的面积为. 4433答案： 4三、解答题 9．[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB； (2)若DC＝22，求BC. 解析：(1)在△ABD中，由正弦定理得BDAB＝， sin∠Asin∠ADB2222222即522＝，所以sin∠ADB＝. sin45°sin∠ADB5由题设知，∠ADB<90°， 所以cos∠ADB＝2231－＝. 2552. 52＝25， 5(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝222在△BCD中，由余弦定理得BC＝BD＋DC－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×所以BC＝5. 10．[2019·济南模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA－acosB＝2c. (1)证明：tanB＝－3tanA； (2)若b＋c＝a＋3bc，且△ABC的面积为3，求a. 解析：(1)根据正弦定理，得sinBcosA－cosBsinA＝2sinC＝2sin(A＋B)， 即sinBcosA－cosBsinA＝2(sinBcosA＋cosBsinA)， 整理得sinBcosA＝－3cosBsinA，方程两边同时除以cosAcosB，∴tanB＝－3tanA. b＋c－a3bc3(2)由已知得，b＋c－a＝3bc，∴cosA＝＝＝， 2bc2bc2222222222π3由0 因为bc≤??b＋c?2，所以(b＋c)2≤3(b＋c)2＋4， ?4?2?即b＋c≤4(当且仅当b＝c＝2时等号成立)， 所以a＋b＋c≤6. 故△ABC的周长的最大值为6. abcπ解法二 因为＝＝，且a＝2，A＝， sinAsinBsinC34343所以b＝sinB，c＝sinC. 334343??2π???π?所以a＋b＋c＝2＋(sinB＋sinC)＝2＋sinB＋sin?－B??＝2＋4sin?B＋?. ?6?33??3???2ππ因为0
2020高考(理)一轮复习：课时作业23 正弦定理和余弦定理
