2001-2010成考数学真题(专科文)分类题解

由天下分享时间：2025/1/20 20:08:59 加入收藏我要投稿点赞

y?椭圆与x轴的交点是2，圆(x?4)2?y2?2的圆????心是(?4,0),与x轴的交点是4-2.因4-2>2，??故椭圆与圆相离，没有交点.???2x（24）已知抛物线y?8x的焦点为F，点A、C在抛物线上（AC与x轴不垂直）.

（Ⅰ）若点B在抛物线的准线上，且A、B、C三点的纵坐标成等差数列，求证BF?AC；（Ⅱ）若直线AC过点F，求证以AC为直径的圆与定圆(x-3)?y?9相内切. 证明：（Ⅰ）由y?8x得抛物线准线方程x??22p8/4????2，F(2,0) 222y12y2y?y2设A(,y1)、C(,y2)，则B(?2,1) ，

8822AC的斜率kAC?y2?y18， BF的斜率kBF?2y2y12y1?y2?88y1?y22??y1?y2 ?2?(?2)80?∵ kAC?kBF??y?y2?8???1??1 ， ∴ BF?AC ?y1?y2?8?（Ⅱ）设AC的斜率为k，则A、C、F所在的直线的方程为y?k(x?2)

设A(x1,y1)、C(x2,y2)，因A、C在抛物线上（AC与x轴不垂直），故k满足下列方程组：

?y?k (x?2) ① 将①代入②消去y得： ?2?y?8x ②lyCk 2(x?2)2?8x，k2x2?(4k2?8)x?k2?0，

242因??b?4ac?12k?64k?64?0 ?(4k?8)4k2?8c故x1?x2???? ?22akky8将x??2代入②消去x得：y2?y?16?0，

kk因??b2BD2FExAy2?8x8?1?4ac????k??4?1?(?16)?64(2?64)?0

k??2（以k?2作图）82k2?448k,) 故y1?y2??因此，以AC为直径的圆的圆心为D(?，y1?y2??16，

k1kk2?因csc2??1?111csc??1??1?，，故，得： ??180tan2?k2tan2?AC?csc??y2?y1?1??211?y?y?1??2122kk?y2?y1?2k?1?(y1?y2)2?4y1y22k

k2?182k2?1k2?1k2?1??()?4?（-16）?8??82 222kkkkkACk2?1?42，又定圆心为E(3,0)，半径r?3，可得 AC为直径的圆的半径R?2k2k2?442k2?4k2?1k2?42DE?(?3)?()?，又R?r ?42?3??DE 222kkkkk因此，这两个圆相内切

2004年

x2y2（6）以椭圆的标准方程为??1的任一点（长轴两端除外）和两个焦点为顶点的三角形的周长等于

169（A）12 （B）8?27?a?2c? （C）13 （D）18

（13）如果抛物线上的一点到其焦点的距离为8，则这点到该抛物线准线的距离为

（A）4 （B）8 （C）16 （D）32

1?x2?y2?1上，点M?（24）（本小题满分12分）设A、B两点在椭圆?1,?是A、B的中点. 4?2?（Ⅰ）求直线AB的方程

（Ⅱ）若椭圆上的点C的横坐标为?3，求?ABC的面积解（Ⅰ）所求直线过点M(1,11)，由直线的点斜式方程得所求直线的方程为y?k(x-1)?，

221x2?y2?1，即A、B两点的坐标满足方程组 A、B两点既在直线y?k(x-1)?，又在椭圆

24?x22?y?1?????????????①?4111222，将②代入①得：(?k)x?2k(?k)x?(?k)?1?0????????③ ?422?y?k(x-1)?1 ②?2此方程的判别式：

111??b2?4ac??2k(?k)??4(?k2)?(?k)2?1?????24???2?111?4k2(?k)2?4k2(?k)2?(1?4k2)?(?k)2222

13222?(1?4k)?(?k)?3k?k?2422?211??331?5???3?k?k???????3?k????0364366?6?????因此它有两个不等的实数根x1、x2.

21y??x?12yAC10.5B0.50.5xx2?y2?14C20.5122k(?k)4k?2k???2，解得k??1 b2??由x1?x2??得：x1?x2??1a21?4k2?k24

将k=?（Ⅱ）将k??111代入y?k(x-1)?得直线AB的方程：y??x?1

222?x?0?y?11代入方程③，解得?1，又得?1，

x?0x?22?2?2即A、B两点的坐标为A（0，1），B（2，0），于是

AB=(0?2)2+(1?0)2=5 由于椭圆上的点C的横坐标为?3，故点C的坐标为C（?3，?点C到直线AB的距离为：

1） 211?3??2?2?3??2?2Ax0+By0?CAx0+By0?C1?33?322 或 d= d=====2222222255A+B1+2A+B1+2所以，?ABC的面积为：

S?ABC=2005年

111?31?311 或 S?ABC=ABAB?d=5?=?d=222225?53?53?3=2 3（5）中心在原点，一个焦点在(0,4)且过点(3,0)的椭圆方程是

x2y2x2y2x2y2x2y2?焦点在y轴上?（A）??1?2? （B）9?16?1 （C）25?41?1 （D）9?4?1 c?4，b?3，a?25925??x2y2（8）双曲线??1的焦距是

288（A）45 （B）25 （C）12 2c?228?8?12 （D）6

（24）（本小题满分12分）

yl??x2y2如图，设A1、A2是椭圆C1： ??1长轴的两个端点，

43l是C1的右准线，双曲线C2：

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）设P为l与C2的一个交点，直线PA1与C1的另一个交点为Q，直线PA2与C1的另一个交点为R.求QR

C2xy??1 4322QA1PA2xP?Ra24??4 解（Ⅰ）椭圆的半焦距c?a?b?4?3?1，右准线l的方程x?c122（Ⅱ）由P为l与C2的一个交点的设定，得P(4,3)或P?(4,?3)。由于C2是对称曲线，故可在此两点

中的任意一点取作图求QR，现以P(4,3)进行计算。

由题设和直线的两点式方程得PA1的方程为y?（x?2），PA2的方程为y?（x?2）

1232 33

13??y?（x?2）y?（x?2）??3333??22 解?2 得，解得，Q（1，）R（1，?）QR=?(?)=3 ?x2y22xy2222?????1?1???43?432006年

x2y2（15）设椭圆的标准方程为??1，则该椭圆的离心率为

16121（A） 22007年

（12）已知抛物线y?4x上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为

（A）

2?337c16?121?e??? （B）（C）（D） ????a232216??4455或? （B）或? （C）1或?1 （D）3或?3 55441y?2?2由y?2px和y?4x得p=2, x?p?5???x?4 ?y??4????k???1?? 2x??（14）已知椭圆的长轴长为8，则它的一个焦点到短轴的一个端点的距离为

（A）8 （B）6 （C）4 ?d?a?8/2?4? （D）2

（24）（本小题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于3，并且过点，求：（?3，8）（Ⅰ）双曲线的标准方程

（Ⅱ）双曲线焦点坐标和准线方程

cx2y2解（Ⅰ）由已知得双曲线的标准方程为2?2?1，?3，c?3a，

aabx2y2222222左准线故b?c?a?（3a）?a?8a，2?2?1 a8a22xy将点代入2?2?1，（?3，8）a8a得：a2?1，b2?8，c?3

y右准线xy2故双曲线的标准方程为x??1

82a21（Ⅱ）双曲线焦点坐标：，双曲线准线方程：x??（?3，0）（3，0）??

c32009年

（4）抛物线y?4x的准线方程为

（A）x?4 （B）x?2 （C）x??1 （D）x??4 （13）平面上到两点F、F距离之和为4的点的轨迹方程为（（1-1，0）21，0）2x2y2x2y2x2y2??1 （B）??1 （C）??1 （D）y2?2x ?（A）434334（25）（本小题13分）焦点在(?2，0)，的设双曲线的渐近线方程为y??x。（2，0）（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）求双曲线的离心率。

解（Ⅰ）设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，则a2?b2?c2?4

22?2?a?b?4y2x22 由?bx??x 得：a?b?2，故双曲线方程为2?2?1 y???a?（Ⅱ）离心率e?c?2?2 a22010年

25x（24）（本小题12分）已知椭圆的离心率为，且该椭圆与双曲线?y2?1焦点相同，求椭圆的标

43准方程和准线方程

2x?y2?1知实半轴a?2，虚半轴b?1，半焦距c?a2?b2?22?12?5，双曲解双曲线4?a2?b2?5a?3?线焦点分别为（?5，0）、（5，0），得：?5，解得：，故： 5b?2??3?a?22y2ax??1，准线方程为：y????9??95 椭圆的标准方程为：

c5945

十五、排列与组合

2001年

(12) 有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中2部手机来自同一厂家，则此2部手机恰好相邻

的排法总数为（）

(A) 24 (B) 48 (C) 120 (D) 60