导数知识点总结
考试内容：
导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． 知识要点：
导 数 导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数的运算法则 函数的单调性 函数的极值 函数的最值
导数的应用 导数的运算
1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量
?y?f(x0??x)?f(x0)；比值?y??xf(x0??x)?f(x0)?x称为函数y?f(x)在点x0到
x0??x之间的平均变化率；如果极限limf(x0??x)?f(x0)?y存在，则?lim?x?0?x?x?0?x称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y?f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x?x，即f'(x0)=
0f(x0??x)?f(x0)?y. ?lim?x?0?x?x?0?xlim注：
①?x是增量，我们也称为“改变量”，因为?x可正，可负，但不为零. ②以知函数y?f(x)定义域为A，y?A?B.
f'(x)的定义域为B，则A与B关系为
2. 函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：
⑴函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果y?f(x)在点x0处可导，那么y?f(x)点x0处连续. 事实上，令x?x0??x，则x?x0相当于?x?0. 于是lim?lim[?x?0x?x0f(x)?limf(x0??x)?lim[f(x?x0)?f(x0)?f(x0)]
?x?0?x?0f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)??x?f(x0)]?lim?lim?limf(x0)?f'(x0)?0?f(x0)?f(x0).?x?0?x?0?x?0?x?x⑵如果y?f(x)点x0处连续，那么y?f(x)在点x0处可导，是不成立的. 例：f(x)?|x|在点x0?0处连续，但在点x0?0处不可导，因为?y?|?x|，
?x?x当?x＞0时，?y?1；当?x＜0时，?y??1，故
?x?x?y?x?0?xlim不存在.
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3. 导数的几何意义：
函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y?y0?f'(x)(x?x0). 4. 求导数的四则运算法则：
(u?v)'?u'?v'?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y'?f1'(x)?f2'(x)?...?fn'(x)
(uv)'?vu'?v'u?(cv)'?c'v?cv'?cv'（c为常数）
vu'?v'u?u?(v?0) ???v2?v?'注：
①u,v必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如：设f(x)?2sinx?2，g(x)?cosx?2，则f(x),g(x)在x?0处均不可导，
xx但它们和f(x)?g(x)?
sinx?cosx在x?0处均可导.
5. 复合函数的求导法则：fx'(?(x))?f'(u)?'(x)或y'x?y'u?u'x
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果
f'(x)＞0，则y?f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则y?f(x)为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数y?f(x)在区间I内恒有f'(x)=0，则y?f(x)为常数.
注：①f(x)?0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x3在
(??,??)上并不是都有f(x)?0，有一个点例外即
x=0时f（x） = 0，同
样f(x)?0是f（x）递减的充分非必要条件.
②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理） 当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值. 也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是
f'(x)=0
①
. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极
值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y?f(x)?x3，x?0使f'(x)=0，但x?0不是极值点.
②例如：函数y?f(x)?|x|，在点x?0处不可导，但点x?0是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： I.
C'?0（
C为常数） (sinx)'?cosx
2(arcsinx)'?11?x
(xn)'?nxn?1（n?R） (cosx)'??sinx
(arccosx)'??11?x2
(logax)'?1logae xII.
(lnx)'?1x
(arctanx)'?1x2?1(ex)'?ex (ax)'?axlna
(arccotx)'??1x2?1
III. 求导的常见方法： ①常用结论：(ln|x|)'?1.
x②形如y?(x?a1)(x?a2)...(x?an)或数，可转化求代数和形式.
y?(x?a1)(x?a2)...(x?an)(x?b1)(x?b2)...(x?bn)两边同取自然对
③无理函数或形如y?xx这类函数，如y?xx取自然对数之后可变形为
lny?xlnx，
y'1对两边求导可得?lnx?x??y'?ylnx?y?y'?xxlnx?xx.
yx
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