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高中数学《不等式》精华小练10讲（详解）
一．不等式的性质： ................................................... 2 二．不等式大小比较的常用方法： ........................................ 3 三、利用重要不等式求函数最值 .......................................... 4 四、证明不等式的方法： ............................................... 5 五．简单的一元高次不等式的解法 ........................................ 6 六、分式不等式的解法： ............................................... 7 七．绝对值不等式的解法： ............................................. 8 八、含参不等式的解法： ............................................... 9 九、含绝对值不等式的性质：........................................... 10 十、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题： ............................. 11
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一．不等式的性质
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a?b,c?d，则a?c?b?d（若，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； a?b,c?d，则a?c?b?d）
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，
ab但不能相乘：若a?b?0,c?d?0，则ac?bd（若a?b?0,0?c?d，则?）；
cd3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a?b?0，则an?bn或na?nb； 4．若ab?0，a?b，则
1111?；若ab?0，a?b，则?。如 abab（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：
①若a?b,则ac2?bc2； ②若ac2?bc2,则a?b；
11 ③若a?b?0,则a2?ab?b2； ④若a?b?0,则?；
abba ⑤若a?b?0,则?； ⑥若a?b?0,则a?b；
abab11 ⑦若c?a?b?0,则； ⑧若a?b,?，则a?0,b?0。 ?c?ac?bab其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，则3x?y的取值范围是______ （答：1?3x?y?7）；
（3）已知a?b?c，且a?b?c?0,则
1??（答：??2,??）
2??c的取值范围是______ a2
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二．不等式大小比较的常用方法
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；
5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；
8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如
1t?1（1）设a?0且a?1,t?0，比较logat和loga的大小
221t?11t?1（答：当a?1时，logat?loga（t?1时取等号）；当0?a?1时，logat?loga2222（t?1时取等号））；
21（2）设a?2，p?a?，q?2?a?4a?2，试比较p,q的大小
a?2（答：p?q）；
（3）比较1+logx3与2logx2(x?0且x?1)的大小 （答：当0?x?1或x?当x?44时，1+logx3＞2logx2；当1?x?时，1+logx3＜2logx2；334时，1+logx3＝2logx2） 33
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三、利用重要不等式求函数最值
注意：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如 （1）下列命题中正确的是
1 A、y?x?的最小值是2
x B、y?x2?3x?22的最小值是2
4 C、y?2?3x?(x?0)的最大值是2?43
x4 D、y?2?3x?(x?0)的最小值是2?43
x（答：C）；
（2）若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______ （答：22）；
（3）正数x,y满足x?2y?1，则（答：3?22）；
22a?b?a?b?ab?2(根据目标不等式左右的运算结4.常用不等式有：（1）221?1ab11?的最小值为______ xy构选用) ；（2）a、b、c?R，a2?b2?c2?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等
bb?m（糖水的浓度问题）。如 ?aa?m如果正数a、b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是_________
号）；（3）若a?b?0,m?0，则
（答：?9,???）
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四、证明不等式的方法
比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
1111111??2??? 常用的放缩技巧有：?nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1nk?1?k?111???k?k?1 k?1?k2kk?1?k 如：（1）已知a?b?c，求证：a2b?b2c?c2a?ab2?bc2?ca2 ； (2) 已知a,b,c?R，求证：a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)； （3）已知a,b,x,y?R?，且
xy11?； ?,x?y，求证：
x?ay?bab (4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：lga?bb?cc?a ?lg?lg?lga?lgb?lgc；
222（5）已知a,b,c?R，求证：a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)； (6)若n?N*，求证：(n?1)2?1?(n?1)? (7)已知|a|?|b|，求证：（8）求证：1?11?2?223n2?1?n；
|a|?|b||a|?|b|?；
|a?b||a?b|?1?2。 2n5
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