2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第13讲 函数和方程及答案
判断方程的根的个数，函数的零点个数
等问题，常用方法有：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)利用函数零点存在定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的性质(如单调性、奇偶性等)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用函数图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．
1．(1)在下列区间中，函数f(x)＝e＋4x－3的零点所在的区间为(C)
x
11
A．(－，0) B．(0，) 44
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1113C．(，) D．(，) 4224
2??x＋2x，x≤0，(2)(2018·岳麓区校级模拟)已知函数f(x)＝? 则函数g(x)＝f(1－x)－1的零
?|lg x|， x>0，?
点个数为(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
(1)因为f(x)是R上的增函数且图象是连
续的，且
1111
f()＝e4＋4×－3＝e4－2<0， 4411112f()＝e＋4×－3＝e2－1>0， 22
11
所以f(x)在(，)内存在唯一零点．
42
2???1－x?＋2?1－x?， x≥1，
(2)由题意得f(1－x)＝?
?|lg?1－x?|， x<1，?2??x－4x＋3， x≥1，
即f(1－x)＝?
??|lg?1－x?|， x<1.
当x≥1时，由f(1－x)－1＝x2－4x＋2＝0， 解得x＝2＋2或x＝2－2(舍去)； 当x<1时，由f(1－x)－1＝|lg(1－x)|－1＝0，
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9
解得x＝－9或x＝满足条件．
10
综上所述，函数g(x)的零点有3个，故选C.
二次函数的零点
已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.
(1)若函数有两个零点，其中一个零点在区间(－1,0)内，另一个零点在区间(1,2)内，求m的取值范围；
(2)若函数的两个零点均在(0,1)内，求m的取值范围．
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(1)条件说明抛物线：
f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得：
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??f?－1?＝2＞0，?f?1?＝4m＋2＜0，??f?2?＝6m＋5＞0
f?0?＝2m＋1＜0，
?
?m∈R，?m＜－1
，2
?m＞－5.?6
1m＜－，
2
51所以－＜m＜－.
62
(2)根据f(x)的零点落在(0,1)内，列不等式组：
??f?1?＞0，
?Δ>0，??0＜－m＜1
f?0?＞0，
?
?m＞－1，?2
m>1＋2或m<1－??－1＜m＜0.
1m＞－，
2
2，
1
所以－＜m<1－2. 2
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