2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第13讲 函数和方程及答案

2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第13讲 函数和方程及答案

第13讲 函数与方程

1．结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系． 2．判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

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2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第13讲 函数和方程及答案

知识梳理

1．函数的零点 (1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系

方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与 x轴 有交点函数y＝f(x)有 零点 . (3)函数零点的判定(零点存在定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是一条 连续不断 的曲线，并且有f(a)·f(b) < 0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有 一个零点 . ．．

2．二分法

(1)二分法的意义

对于区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

(2)利用二分法求函数f(x)的零点的近似值的步骤：

第一步，确定区间[a，b]，验证 f(a)f(b)<0 ，给定精确度ε. 第二步，求区间(a，b)的中点x1. 第三步，计算f(x1)；

①若f(x1)＝0，x1就是函数的 零点 ；

②若f(a)f(x1)<0，则令b＝x1，此时零点x0∈ (a，x1) ； ③若f(x1)f(b)<0，则令a＝x1，此时零点x0∈ (x1，b) . 第四步，判断是否达到精确度的要求，否则重复第二至第四步．

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1．有关函数零点的结论

(1)若连续函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续函数的图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布 零点的分布 (m，n，p为常数) 图 象 满足条件 x10?b－0 2a m0?b－>mf?m?>0 2a - 3 - / 23

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x10f?n?<0f?p?>0 只有一个零点 在(m，n)之间 ??Δ＝0?bm<－

方程f(x)－g(x)＝0有实根函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点．

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热身练习

x??2－1， x≤1，

1．(2018·济宁模拟)已知函数f(x)＝?则f(x)的零点为(D)

?1＋log2x， x>1，?

1

A. B．－1 2

1

C．0或 D．0

2

＝0；

1

当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，

2又因为x>1，所以此时方程无解． 综上，函数f(x)的零点只有0.

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当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x