2.2.1 条件概率
学习目标 1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．
知识点一 条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}． 思考1 试求P(A)，P(B)，P(AB)． 939085
答案 P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. 100100100
思考2 任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．
答案 事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)85
＝. 90
思考3 P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系． 答案 P(A|B)＝梳理
条件 含义 记作 读作 计算公式
设A，B为两个事件，且P(A)>0 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 P?AB?
. P?B?
P(B|A) A发生的条件下B发生的概率 ①缩小样本空间法：P(B|A)＝②公式法：P(B|A)＝n?AB? n?A?P?AB? P?A? 1
知识点二 条件概率的性质
1．任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1. 2．如果B和C是两个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
1．若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.( × )
2．事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．( √ )
类型一 求条件概率
命题角度1 利用定义求条件概率
例1 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率
解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A6＝30. 根据分步乘法计数原理，有n(A)＝A4A5＝20， 所以P(A)＝11
2
n?A?202
＝＝. n?Ω?303
2
(2)因为n(AB)＝A4＝12，所以P(AB)＝
n?AB?122
＝＝. n?Ω?305
(3)方法一 由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)2P?AB?53＝＝＝. P?A?25
3
方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝n?AB?123
＝＝. n?A?205
2
反思与感悟 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝同时发生．
跟踪训练1 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 A
解析 设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良是事件A，故所求概率为P(A|B)＝P?AB?
，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，BP?A?
P?AB?0.6
＝＝0.8. P?B?0.75
命题角度2 缩小基本事件范围求条件概率
例2 集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 利用缩小基本事件空间求条件概率
解 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，93(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
155引申探究
1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．
解 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝
93＝. 155
2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．
解 甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，
3
21
(6,1)，共2个．所以P(B|A)＝＝.
126
反思与感悟 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝的基本事件范围的．
跟踪训练2 5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为________． 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 利用缩小基本事件空间求条件概率 1答案 2
解析 设第1次取到新球为事件A，第2次取到新球为事件B，则P(B|A)＝类型二 条件概率的性质及应用
例3 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率． 考点 条件概率的性质及应用 题点 条件概率性质的简单应用
解 设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，
n?AB?
，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小n?A?
n?AB?3×21
＝＝. n?A?4×32
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}， R＝{第二次取出的球是红球}， W＝{第二次取出的球是白球}，
731
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，
10102
P(W|A)＝，P(R|B)＝，P(W|B)＝. 事件“试验成功”表示为AR∪BR，又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得
1
24515
P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR)
＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B) 1743
＝×＋×＝0.59. 210510
4
反思与感悟 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．
跟踪训练3 在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． 考点 条件概率的性质及应用 题点 条件概率性质的简单应用
解 记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，
E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
C10C10C10C10C1012 180
＝6＋6＋6＝6，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)， C20C20C20C20
6
5
1
4
2
P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
2102 520
66C20C20P?A?P?B?13
＝＋＝＋＝. P?D?P?D?12 18012 18058
66C20C2013
故获得优秀成绩的概率为. 58
13
1．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于( )
2831331
A. B. C. D. 161644
考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 C
3
P?AB?P?AB?83
解析 因为P(B|A)＝，所以P(A)＝＝＝.
P?A?P?B|A?14
2
2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是( ) A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285
5
（部编本人教版）[精品资料]版高中数学 第二章 2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率学案 新人教A版选修2
