2．1.1 合情推理
1.了解合情推理的含义及作用． 2.理解归纳推理与类比推理的特点及步
骤． 3.会利用归纳和类比的方法进行推理．
1．推理
(1)定义：根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理． (2)结构：推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知判断推出的新判断，叫做结论．
?合情推理?
(3)分类：推理?
?演绎推理?
2．合情推理 (1)合情推理
①定义：当前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理． ②分类：归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理． (2)归纳推理和类比推理
归纳推理 类比推理 根据两类不同事物之间具有根据一类事物的部分对象具有某种性定义 质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理 某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理 特征 归纳是从特殊到一般的过程
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理是由一般到一般的推理过程．( ) (2)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．( ) (3)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×
2．数列5，9，17，33，x，…中的x等于( ) A．47 B．65
类比是从特殊到特殊的过程 C．63 D．128 答案：B
3．各项都为正数的数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，求数列{an}的通项公式．
答案：an＝
n（n＋1）
2
数与式的推理
(1)由下列各式： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， …
请你归纳出一般结论．
(2)已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1，2，3，…)，试归纳出这个数列
1＋an的通项公式．
[解] (1)由左、右两边各项幂的底数之间的关系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10，
可得一般结论：1＋2＋3＋…＋n＝(1＋2＋3＋…＋n)，
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
3
3
3
2
3
3
2
3
2
an?n（n＋1）?.
即1＋2＋3＋…＋n＝??2??
3
3
3
3
2
(2)当n＝1时，a1＝1； 11当n＝2时，a2＝＝；
1＋121
当n＝3时，a3＝＝；
131＋
2
12
1
当n＝4时，a4＝＝.
141＋
3
1
通过观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an＝.
13
n 由已知数、式进行归纳推理的步骤
(1)要注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律． (2)要注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征． (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点． (4)运用归纳推理得出一般结论．
1.观察下列等式：
1＋1＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝2×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝2×1×3×5， …
照此规律，第n个等式可为________________________．
解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2×1×3×…×(2n－1)．
答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2×1×3×…×(2n－1) 2．已知数列{an }满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)． (1)求a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项公式an.
解：(1)当n＝1时，a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3， 当n＝2时，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7， 同理可得a4＝15，a5＝31.
(2)由于a1＝1＝2－1，a2＝3＝2－1，
1
2
3
2
nnna3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1， a5＝31＝25－1，
所以可归纳猜想an＝2－1(n∈N＋).
归纳推理在几何图形中的应用
如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，
nn∈N＋)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝________，an＝________(n>1，n∈N＋)．
2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教B版选修2_2
