第六章 代数系统
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1． 证明：
任取x,y?I，g(y,x)?算*是可交换的； 任取x,y,z?I，
因此，运算*是可结合的。
该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。 2．
证明：任取x,y?N,x是可交换的。 任取
y*x?y?x?yx?x?y?xy?g(x,y)，因此，二元运
?y，由x*y?x,y*x?y?x知，y*x?x*y，*运算不
(x*y)*z?x*z?xx*(y*z)?x*y?xx,y,z?N，由，知，
(x*y)*z?x*(y*z)，*运算是可结合的。
任取x?N，x*x?x，可知N中的所有元素都是等幂的。
?x，知N中的所有元素都是右么元。
*运算有右么元，任取x,y?N，x*y*运算没有左么元。
证明：采用反证法。假定e为*运算的左么元，取b?N,b?e，由*的运算公式知e*b?e，由么元的性质知，e*b?b，得e?b，这与b?e相矛盾，因此，*运算没有左么元。 3．解：
① 任取x,y?I,x?y
因此对于任意的x,y?I,x?y都有x*y?y*x，即二元运算*是可交换的。 ② 任取x,y,z?I,
（x*y）*z?x*（y*z)，即二元运算*是可结合的。 因此对于任意的x，y，z，都有
③ 设幺元为e
x*e?e*x?x和e的最小公倍数?x，则e?1，即幺元为1.
④ 对于所有的元素x?I，都有x*x?x，所以所有元素都是等幂的。
4．解：设X?n
① 设f是X上的二元运算，则f是一个从X?X的映射。 求X上有多少个二元运算即相当于求这样的映射的个数。 由于X2?n2，映射f的个数为n，即X上有n个二元运算。 ② 可交换即f?x,y??f?y,x? 设集合X?{1,2,3,4}，要求
n2
n2
2X上可交换的二元运算的个数，即相当于求映射f的个数，
f:A?X，其中：
具体如下图所示： 此时映射f的个数N42C4?4?46?4?4
推广到X有n个元素时，映射f的个数Nn③ 单位元素即幺元，若存在必唯一。 设集合X?{1,2,3,4}，若幺元为1，则有
?n2Cn?n
此时的二元运算的个数相当于求映射f:A?X的个数，其中： 映射f:A?X的个数为N幺元为2，3，4时同理，N4?4?499(4?1)2
(4?1)2?4?4?C?491414
个有单位元素的二元运算。
因此集合X?{1,2,3,4}上有N4?4?4?C?4(4?1)2推广到X有n个元素时，具有单位元素的二元运算的个数为Nn5．解：任取a1,a2,a3?R ①
?C?n1n(n?1)2。
a1*a2?a1?a2
对于任意的a1,a2?R都有a2*a1?a1*a2，故二元运算*是可交换的。 若a1?1,a2??3,a3??2
?a1*a2?*a3?6，a1*(a2*a3)?0，此时?a1*a2?*a3?a1*(a2*a3)
故二元运算*是不可结合的。
不存在这样e使得任意的x?R都有x*e?x?e?x，
因此，二元运算*不含幺元。 ②a1*a2??a1?a2?/2
对于任意的a1,a2?R都有a2*a1?a1*a2，故二元运算*是可交换的。
a2?a3a1?2?2a1?a2?a3?a1?a2?2a3a1*(a2*a3)?a1*??a2?a3?/2??244故二元运算*是不可结合的。
不存在这样e使得任意的x?R都有x*e?(x?e)/2?x， 因此，二元运算*不含幺元。 ③
a1*a2?a1/a2
因此，二元运算*是不可交换的。
故二元运算*是不可结合的。
由于二元运算*不是可交换的，所以不存在这样e使得任意的x?R都有x*e?e*x?x/e?x， 因此，二元运算*不含幺元。 6．设x是X中的任意元素。 由于二元运算*是可结合的， 故(x*x)*x?x*(x*x)
又对于任意的x,y?X，若x*y?y*x，则y?x 故x*x?x
即对于X中的任意元素，都有x*x?x， 所以X中的 每一个元素都是等幂的。
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4． 证明：
首先，U和V都只含有一个二元运算，因此是同类型的； 第二，
f的定义域是自然数集合N，值域是{0,1}，是V定义域的子集。
第三，验证是否运算的像等于像的运算。 任取x,y?N，分情况讨论： （1） x和y都可以表示成2，设x?2kk1,y?2k2，
那么
f(xgy)?f(2k1g2k2)?f(2k1?k2)?1，f(x)?f(y)?1
kk（2） x和y都不能表示成2，那么xgy也不能表示成2
f(xgy)?0,f(x)?f(y)?0
（3） x可以表示成2，y不能表示成2，那么xgy也不能表示成2
kkkf(xgy)?0,f(x)?1,f(y)?0
（4） x不可以表示成2，y能表示成2，那么xgy也不能表示成2
kkkf(xgy)?0,f(x)?0,f(y)?1
可知，无论x和y如何取值，都能够保证综上所述，5．
证明：设U??{a,b,c},??，V??{1,2,3},??
首先，U和V都仅有一个二元运算，因此U和V是同类型的；
第二，U和V的定义域大小相同，具备构成双射函数的条件；
第三，寻找特异元素，U中么元是a，右零元是c，三个元素都是等幂元；V中么元是3，右零元是1，三个元素都是等幂元。 第四，在U和V的定义域之间构造双射函数
f(x)gf(y)?f(xgy)。
f是U到V的同态映射。
f，使得
f(a)?3,f(b)?2,f(c)?1。
把*运算表中的元素都用f下的像点代替，得
3 2 1 调整 表头的顺序为1，2，3，转变为下表
1 2 3 跟V3 3 中?运算表完全相同，因此代 2 1 数系
2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 3 1 1 1 2 2 2 1 2 3 统
?{a,b,c},??和
?{1,2,3},??是同构的。
6.证明：
(1) 两个代数系统都只存在一个二元运算，故满足同型。 (2) 构造函数f，使得f(X)=～X，显然f是双射函数。 (3) 对于任意的X,Y??(X)
f(X∩Y)=～(X∩Y)=～X∪～Y f(X)∪f(Y)=～X∪～Y
故 f(X∩Y)=f(X)∪f(Y)，所以满足运算的像=像的运算。 由(1),(2),(3)可知，两代数系统是同构的。
7.解：
当p?0时，f0零同态；
当p?1时，f1恒等映射，自同态；
当p?2时，f2?{?0,0?,?1,2?,?2,4?,?3,0?,?4,2?,?5,4?}； 当p?3时，f3?{?0,0?,?1,3?,?2,0?,?3,3?,?4,0?,?5,3?}； 当p?4时，f4?{?0,0?,?1,4?,?2,2?,?3,0?,?4,4?,?5,2?}； 当p?5时，f5?{?0,0?,?1,5?,?2,4?,?3,3?,?4,2?,?5,1?}自同构。 8.证明：x?1?0的n个复数根可表示成：
n2?xki?coski??sinki?i,??,ki?0,1,2,....n?1n(1) ?En,??与?Nn,?n?都含有一个二元运算，故为同型的。 (2) ?En,??与?Nn,?n?定义域大小相同，具备构成双射函数的条件。
(3) 构造双射函数
f(xki)?ki?modn?
对于任意的xk1,xk2?En，
因此，f(xk1?xk2)?f(xk1)?nf(xk2)。 由(1),(2),(3)可知，?En,??9．证明：
(1) ?g是代数系统?X,*?到当?Y,??的同态映射 又??X1,*?是?X,*?的子代数
(2) 对于?a,b?g[X1]，必存在Xa,Xb?X1， 使得g[Xa]?a，g[Xb]?b,
由于g为代数系统?X,*?到当?Y,??的同态映射
同构于
?Nn,?n?。
?Xa,Xb?X1，又??X1,*?是?X,*?的子代数
离散数学第二版答案章
