所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
(1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率；
(2)在两次游戏中，记获奖次数为X，求X的数学期望．
[解] (1)记“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)． C3C21
则P(A3)＝22＝.
C5C35
1
故在一次游戏中摸出3个白球的概率为.4分
5
C3C2＋C3C2C217
(2)获奖的概率为P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝. 22
C5C3510
22
111
21
X的所有可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝×＝
33
1010
9， 100
7749
.
1010100
8分
P(X＝1)＝C1×＝，P(X＝2)＝×＝2X的分布列为
X P 故X的数学期望E(X)＝0×
0 9 1001 21 507321101050
2 49 10010分
921497＋1×＋2×＝. 100501005
7?77?(或：∵X～B?2，?，∴E(X)＝2×＝，同样给分)
105?10?
13．(本小题满分10分)(2017·江苏省泰州市高考数学一模)如图11－11，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ＝λBB1(λ≠0)．
图11－11
1
(1)若λ＝，求AP与AQ所成角的余弦值；
2
(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．
→→→
[解] 以{AB，AD，AA1}为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz.
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 6
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
→→
(1)因为AP＝(1,2,2)，AQ＝(2,0,1)， →→
→→AP·AQ所以cos〈AP，AQ〉＝
→→|AP||AQ|＝
1×2＋2×0＋2×145
＝. 159×5
4分
45
所以AP与AQ所成角的余弦值为.
15
→
(2)由题意可知，AA1＝(0,0,2)，AQ＝(2,0,2λ)． 设平面APQ的法向量为n＝(x，y，z)，
→
?n·→AP＝0，则?→
?n·AQ＝0，
1
??x＋2y＋2z＝0，即?
?2x＋2λz＝0，?
令z＝－2，则x＝2λ，y＝2－λ. 所以n＝(2λ，2－λ，－2).
又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，
7分
?n·AA?
所以|cos〈n，AA〉|＝?＝
→?2?|n||AA|?
→
11
→
4
2λ2
＋2－λ2
＋－2
＝2
2
， 2
42
可得5λ－4λ＝0，又因为λ≠0，所以λ＝. 5
10分
14．(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图11－12，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，
AB＝BC＝2，M为PC的中点.
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 7
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
图11－12
(1)求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
4
(2)点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ5的值．
[解] (1)因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD?平面ABCD， 所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直． 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)， 则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得
A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，
又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)． →→
所以BM＝(－1,1,2)，AP＝(0,0,4)， →→
→→AP·BM所以cos〈AP，BM〉＝
→→|AP||BM|＝
0×－1＋0×1＋4×26
＝， 34×6
6
. 3
6分
所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为→→
(2)因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN＝(－1，λ－1，－2)，BC＝(0,2,0)，→
PB＝(2,0，－4)，
设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，
?m·→BC＝0，则?→
?m·PB＝0，
??2y＝0，即???2x－4z＝0.
令x＝2，解得y＝0，z＝1，
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 8
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
所以m＝(2,0,1)是平面PBC的一个法向量. 4
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，
5
8分
→
→|MN·m||－2－2|4
所以|cos〈MN，m〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0,4]， 2
→5＋λ－1·55|MN||m|所以λ的值为1.
10分
15．(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)已知抛物线C的方程为y＝2px(p＞0)，点R(1,2)在抛物线C上．
2
图11－13
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B.若直线AR，BR分别交直线
l：y＝2x＋2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．
[解] (1)将R(1,2)代入抛物线中，可得p＝2，所以抛物线方程为y＝4x.2分 (2)设AB所在直线方程为x＝m(y－1)＋1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 与抛物线联立
??y＝4x?
?x＝my－m＋1?
2
2
得：
y2－4my＋4(m－1)＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝4(m－1)．
设AR：y＝k1(x－1)＋2，
??y＝k1x－1由?
?y＝2x＋2?
＋2
得xM＝k1
k1－2
，
而k1＝
y1－2y1－24
＝2＝， x1－1y1y1＋2
4－1
22
可得xM＝－，同理xN＝－.
y1y2
6分
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 9
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
m2－m＋1
所以|MN|＝5|xM－xN|＝25，
|m－1|
令m－1＝t(t≠0)，则m＝t＋1， 所以|MN|＝5|xM－xN|＝25
?1＋1?2＋3≥15， ?t2?4??
10分
此时m＝－1，AB所在直线方程为x＋y－2＝0.
16．(本小题满分10分)(2017·江苏省泰州市高考数学一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x＝2py(p＞0)上的点M(m,1)到焦点F的距离为2， (1)求抛物线的方程；
(2)如图11－14，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．
【导学号：56394088】
2
图11－14
[解] (1)抛物线x＝2py(p＞0)的准线方程为y＝－，
2因为M(m,1)，由抛物线定义，知MF＝1＋，
2所以1＋＝2，即p＝2，
2所以抛物线的方程为x＝4y. 121
(2)因为y＝x，所以y′＝x.
42
22
ppp2分
t1?t?设点E?t，?，t≠0，则抛物线在点E处的切线方程为y－＝t(x－t)．
42?4?
22
??令y＝0，则x＝，即点P?，0?.
2?2?
2?t??t?因为P?，0?，F(0,1)，所以直线PF的方程为y＝－?x－?，即2x＋ty－t＝0.
t?2??2?
tt同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 10
(新)江苏专版2018年高考数学二轮复习第1部分知识专题突破专题限时集训11附加题部分
