所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
专题限时集训(十一) 附加题部分
(对应学生用书第107页)
(限时：120分钟)
1．(本小题满分10分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中，直线
??l：?4
y＝??5tx＝1＋t3
5
?x＝4k?
(t为参数)，与曲线C：?
??y＝4k2
(k为参数)交于A，B两点，求线
段AB的长．
[解] 法一：直线l的参数方程化为普通方程得4x－3y＝4， 将曲线C的参数方程化为普通方程得y＝4x.
??4x－3y＝4，
联立方程组?2
?y＝4x，?
2
4分
??x＝4，
解得?
?y＝4，?
1??x＝，
或?4??y＝－1.
?1?所以A(4,4)，B?，－1?.
?4?
25
所以AB＝.
4
法二：将曲线C的参数方程化为普通方程得y＝4x.
2
10分
?4?2?3?2
直线l的参数方程代入抛物线C的方程得?t?＝4?1＋t?，即4t－15t－25＝0，
?5??5?
1525
所以t1＋t2＝，t1t2＝－.
44所以AB＝|t1－t2|＝
t1＋t2
2
25
－4t1t2＝. 4
10分
2．(本小题满分10分)(2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程π??2
分别为ρ＝2，ρ－22ρcos?θ－?＝2.
4??
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
π??2222
[解] (1)ρ＝2?ρ＝4，所以x＋y＝4；因为ρ－22ρcos?θ－?＝2，2分
4??ππ??222
所以ρ－22ρ?cos θcos＋sin θsin?＝2，所以x＋y－2x－2y－2＝0.
44??
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
6分
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 1
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
π?2?化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin?θ＋?＝.10分 4?2?
8分
3．(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)设n∈N，f (n)＝3＋7－2.
(1)求f (1)，f (2)，f (3)的值；
(2)证明：对任意正整数n，f (n)是8的倍数． [解] (1)代入求出f (1)＝8，f (2)＝56，f (3)＝368. (2)证明：①当n＝1时，f (1)＝8是8的倍数， 命题成立．
②假设当n＝k时命题成立，即f (k)＝3＋7－2是8的倍数， 那么当n＝k＋1时，f (k＋1)＝3
因为7＋1是偶数，所以4(7＋1)是8的倍数， 又由归纳假设知3(3＋7－2)是8的倍数， 所以f (k＋1)是8的倍数， 所以当n＝k＋1时，命题也成立． 根据①②知命题对任意n∈N成立.
4．(本小题满分10分)利用二项式定理证明：当n∈N时，3
[解] 3
n－1
2n＋2
*
2n＋2
*
*
nn2分
kkk＋1
＋7
k＋1
－2＝3(3＋7－2)＋4(7＋1)，
6分
kkkkkkk10分
－8n－9能被64整除． ＋Cn＋1·8＋Cn＋1·8
n－3
n－1
1
－8n－9＝9
nn＋1
－8n－9＝(8＋1)
2
n＋1
－8n－9＝8
1
n＋1n2n－1
＋…
＋Cn＋1·8＋Cn＋1·8＋1－8n－9＝8·(8而8
n－1
2n－1
＋Cn＋1·8
*
n－2
＋Cn＋1·8
2
＋…＋Cn＋1)，6分
＋Cn＋1·8
1n－2
＋Cn＋1·8
2n－3
＋…＋Cn＋1∈N，所以3
n－12n＋2
－8n－9能被64整除.10分
5．(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知a，b，c为正
b2c2a2
实数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
abc【导学号：56394086】
[证明] ∵a，b，c为正实数，
b2c2a2
∴a＋≥2b，b＋≥2c，c＋≥2a，
abc将上面三个式子相加得：
4分
b2c2a2
a＋b＋c＋＋＋≥2a＋2b＋2c，
abcb2c2a2
∴＋＋≥a＋b＋c. abc10分
6．(本小题满分10分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知函数f (x)
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 2
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
＝|x＋1|－|x|＋a.
(1)若不等式f (x)≥0的解集为空集，求实数a的取值范围； (2)若方程f (x)＝x有三个不同的解，求实数a的取值范围．
[解] (1)令g(x)＝|x＋1|－|x|，则f (x)≥0的解集为空集?g(x)≥－a的解集为空集?g(x)＜－a恒成立，
－1，x＜－1，??
g(x)＝|x＋1|－|x|＝?2x＋1，－1≤x＜0
??1，x≥0，
，作出函数g(x)的图象，由图可知，
函数g(x)的最大值为g(x)max＝1，所以－a＞1，即a＜－1. 综上，实数a的取值范围为(－∞，－1)．
5分
(2)在同一坐标系内作出函数g(x)＝|x＋1|－|x|图象和y＝x的图象如图所示，由题意可知，把函数y＝g(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1＜a＜0.
10分
7．(本小题满分10分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图11－9，已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，∠ACB＝∠ADC. 求证：AD·BC＝2AC·CD.
图11－9
[证明] ∵∠ACB＝∠ADC，AD是⊙O的直径， ∴AD垂直平分BC，设垂足为E(图略)， ∵∠ACB＝∠EDC，∠ACD＝∠CED， ∴△ACD∽△CED，
6分
ADAC1
∴＝，∴AD·BC＝AC·CD， CDCE2
∴AD·BC＝2AC·CD.
10分
8．(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)如图11－10，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE＝2BE，求证：2OC＝3BC.
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
3
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
图11－10
[证明] 连接OD，设圆的半径为R，BE＝x，则OD＝R，DE＝2BE＝2x， Rt△ODE中，∵DC⊥OB，∴OD＝OC·OE，∴R＝OC(R＋x)，①
4分
2
2
∵直线DE切圆O于点D，∴DE＝BE·AE， 2R2
∴4x＝x(2R＋x)，②，∴x＝，
33R代入①，解得OC＝，
5
2R∴BC＝OB－OC＝，∴2OC＝3BC.
5
9．(本小题满分10分)(2017·江苏省泰州市高考数学一模)已知向量?
10分 8分
2
?1?
?是矩阵A的属于?－1?
特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P′(3,3)，求矩阵A.
?a
[解] 设A＝?
?c
b?d?
?，
? 1?
因为向量??是矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量，
?－1?
所以?
?a ?c b??1 ??1 ??－1?
＝(－1)?????＝??.
d??－1??－1??1 ?
所以?
?a－b＝－1，?
??c－d＝1.
6分
因为点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P′(3,3)，
?a
所以?
?c ?b??1??3??a＋b＝3，
???＝??.所以?
?c＋d＝3，d??1??3??
8分
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 4
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1，所以A＝?
?1 2?
?. ?2 1?
10分
10．(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)
?2??1
已知α＝??为矩阵A＝?
?1??－1 ?1
[解] 由条件可知?
?－1
?2＋a＝2λ，?∴???－2＋4＝λ，
?属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A.
4?
a?
2
?2?
???＝λ??， 4??1??1?
6分
a??2?
解得a＝λ＝2.
?1
因此A＝?
?－1 ?1
所以A＝?
?－1
2
2??， 4?
2??1 2??－1 10????＝??. 4??－1 4??－5 14?
10分
11．(本小题满分10分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱． (1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望.
【导学号：56394087】
[解] (1)设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P(A)＝1－P(A)＝1C513－4＝. C814
(2)由题意可得：X＝5a,6a,7a,8a.
C3C551C3C5303
P(X＝5a)＝4＝＝，P(X＝6a)＝4＝＝，
C87014C8707C3C5303C551
P(X＝7a)＝4＝＝，P(X＝8a)＝4＝＝.
C8707C87014
13
4
31
22
4
4分
6分
X P 114
37
37
5a 1 146a 3 7113142
7a 3 78a 1 1410分
E(X)＝5a×＋6a×＋7a×＋8a×＝a.
12．(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
5
(新)江苏专版2024年高考数学二轮复习第1部分知识专题突破专题限时集训11附加题部分
