第二讲 二项式定理
1.[多选题]若(1-????+??2)4的展开式中x5的系数为-56,则下列结论正确的是 A.a的值为-2
B.展开式中各项系数之和为0 C.展开式中x的系数为4
D.展开式中二项式系数最大的为70
2.[2020四川五校联考](3x3+x4)(2-)8的展开式中x2的系数为
??1
( )
( )
A.-1 280 B.4 864 C.-4 864 D.1 280
3.[2020安徽省示范高中名校联考]在二项式(√??+)n的展开式中,各项系数和为M,二项式
??3
系数和为N,且M+N=72,则展开式中常数项为 ( ) A.18 B.12 C. 9 D.6
4.[2020山西忻州高三模拟]设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m= A.5 B.6 C.7 D.8
5.[2019江西红色七校第一次联考]二项式(1+x+x2)(1-x)10的展开式中x4的系数为 A.120 B.135 C.140 D.100 6.[2019武汉市高三调研测试]若(x4-1??√??( ) ( )
)n的展开式中含有常数项,则n的最小值等于 ( )
A.8 B.10 C.11 D.12
7.[2020 重庆南开中学模拟]已知(ax+1)n(n∈N*)的展开式中,二项式系数和为32,且各项系数和为243,则a= .
8.[2020武汉市部分学校质量监测]若(2x+3)n的展开式中所有项系数和为81,则展开式中的
√??1常数项为 .
9.[2020唐山市摸底考试]在(x+y)(x-y)5的展开式中,x3y3的系数是 A.-10 B.0 C.10 D.20
????
1??
( )
10.[2020深圳高级中学高三适应性考试]已知(1+)·(2x - )5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为 ( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80
11.[2019江淮十校联考]已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x3的项的系数是 ( ) A.-40 B.-20 C.20 D.40
12.[2019江苏四校联考]已知(1+x)n(n∈N*)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为 A.212 B.211 C.210 D.29
( )
13.[2020江西红色七校第一次联考](x-2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为 . 14.[2019江淮十校联考]若(x+a)9 =a0 +a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,当a5=126时,实数a的值为 .
15.[2019上海市普陀区模拟]如果(x2- 2??)n(n∈N*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数之和是 .
16.[2019闽粤赣三省十校联考]若(x3+2)n(n∈N*)的展开式中只有第6项的系数最大,则该展
??11
开式的常数项为 .
17.[新角度题](x+2y-3z)9的展开式中含x4y2z3项的系数为 A.-136 000 B.-136 080 C.-136 160 D.-136 280
??
??
??
( )
7
18.[多选题]已知(2x-m)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7,若a0+21+222+…+27=-128,则有
( )
A.m=2 B.a3=-280
C.a0=-1 D.-a1+2a2-3a3+4a4-5a5+6a6-7a7=14
19. [双空题]若二项式(ax2+??)5的展开式中的常数项为10,则实数a的值为 ,展开式
√1中所有无理项的系数之和为 .
20.[2019河北衡水质量测评][易错题]二项式(ax+)n(a>0,b>0)的展开式中,设所有二项式系
????
数的和为A,所有项的系数的和为B,常数项为C,若A=B=256,C=70,则展开式中含x6的项为 .
第二讲 二项式定理
1.BD 4a3- 12a=- 56,解得a=2.(1- ax+x2)4=(x- 1)8,令x=1,则展开式中各项系数之和为0,
74
展开式中x的系数为C8(- 1)7=- 8,展开式中二项式系数最大的为C8=70.故选BD.
1
1
3321
因为(1- ax+x2)4=[(1- ax)+x2]4,C4C3(- ????)3x2+C4C2·(- ax)(x2)2=(- 4a3- 12a)x5,所以-
??8- r
2.A 由(2- ??)8的展开式的通项Tr+1=C82(- ??)r可得,要想得到x2项,需第一个括号里取3x3,
1726
第二个括号里取C8×2×(- ),或者第一个括号里取x4,第二个括号里取C8×2×(- )2,故展开
??
??
11
1726式中的x2项为3x3[C8×2×(- )]+x4[C8×2×(- )2],化简得- 1 280x2.故选A.
??
??
11
3.C 解法一 令x=1,得展开式中各项系数和M=4n,因为二项式系数和N=2n,M+N=72,所以2n+4n=72,解得n=3.
3- kkk??则展开式的通项公式为Tk+1=C??3(√??)(??)=3C3??
3
3- 3??2
,令3- 3k=0,得k=1,所以常数项为9.故选
C.
解法二 令x=1,得展开式中各项系数和M=4n,因为二项式系数和N=2n,M+N=72,所以2n+4n=72,解得n=3.
1(√??+??)3可看作三个(√??+??)相乘,其展开式中的常数项为C3×??×(√??)2=9.故选C.
3
3
3
4.B 根据二项式系数的性质知,(x+y)2m的展开式中二项式系数最大的项有一项,易知??????+1C2??=a,(x+y)2m+1的展开式中二项式系数最大的项有两项,易知C2??+1=C2??+1=b.
????
又13a=7b,所以13C2??=7C2??+1,将各选项中m的取值逐个代入验证,知m=6满足等式,故选B.
????r
5.B (1- x)10的展开式的通项Tr+1=C10(- x)r=(- 1)rC10x,分别令r=4,r=3,r=2,可得展开式中x4
342
的系数为(- 1)4C10+(- 1)3C10+(- 1)2C10=135.故选B. 6.C 1(x4- 11
??√??)n的展开式的通项
11
11
1r??4n- r??4??- 2??r
Tr+1=C??(x)(- ????)=(- 1)C????,
√当4n- 2r=0,即n=8r时展开式中含有常数项,所以n的最小值为11.故选C.
7.2 依题意得,二项式系数和为2n=32,解得n=5.令x=1,得各项系数和为(a+1)5=243,所以a+1=3,所以a=2.
8.8 令x=1,得展开式中所有项系数和为3n=81,解得n=4.(2x+3)4的展开式的通项公式为
√x1r??4- 3??
Tr+1=??4(2x)4- r(3)r=24- rC4??,
√??4
13
令4- 3r=0,得r=3,所以展开式中的常数项为24- 3C4=8.
4
5- kk59.B 解法一 (x- y)5展开式的通项Tk+1=C??5x5- k(- y)k=(- 1)kC??5xy,所以(x+y)(x- y)的展开6- kkk??5- kk+1式的通项为(- 1)kC??5xy或(- 1)C5xy,
6- kk33
则当k=3时,有(- 1)kC??5xy=- 10xy,
5- kk+13333当k=2时,有(- 1)kC??5xy=10xy,所以xy的系数为0,故选B.
解法二 (x+y)(x- y)5=(x+y)(x- y)(x- y)(x- y)(x- y)(x- y),要想出现x3y3,有两种情况:(1)先在第一个多项式中取x,再在后五个多项式中任选两个多项式,在这两个多项式中取x,最后
22
在余下的三个多项式中取- y,所以有xC5x(- y)3=- 10x3y3;(2)先在第一个多项式中取y,再在后五个多项式中任选三个多项式,在这三个多项式中取x,最后在余下的两个多项式中取- y,
33
所以有yC5x(- y)2=10x3y3.所以x3y3的系数为0,故选B.
10.D 令x=1,得展开式中各项系数和为(1+)(2- )5=1+a,
1
1
??1
所以1+a=2,所以a=1,
所以(1+??)(2x- ??)5=(1+??)(2x- ??)5=(2x- ??)5+??(2x- ??)5,
所求展开式中常数项为(2x- )5的展开式中的常数项与含x的项的系数和,
??1
??
1
1
1
1
1
1
????5- 2r(2x- ??)5的展开式的通项Tr+1=C5(2x)5- r·(- 1)r(??)r=(- 1)r25- rC5x.
11
令5- 2r=1,得r=2;令5- 2r=0,无整数解.
2
所以展开式中的常数项为8C5=80.故选D.
11.D 已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2, 令x=1,得2(2+a)5=2,解得a=- 1.
解法一 因为(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x- 1)5=(x+1)(32x5- 80x4+80x3- 40x2+10x- 1), 故展开式中含x3的项的系数为80- 40=40.故选D.
??
解法二 由(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x- 1)5,易知(2x- 1)5的展开式的通项Tr+1=C5(2x)5- r(- 1)r=(- ??5- r5- r1)rC52x.
32
①当x+1中取x时,令r=3,则含x3的项的系数为1×(- 1)3×C5×2=- 40.
23
②当x+1中取1时,令r=2,则含x3的项的系数为1×(- 1)2×C5×2=80. 故展开式中含x3的项的系数为80- 40=40.故选D.
37
12.D 因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以C??=C??,解得n=10.
010100109122
从而C10+C10+C10+…+C10=2,所以奇数项的二项式系数和为C10+C10+…+C10=2.故选D. 13.- 320 (x- 2y+1)(2x+y)6=x(2x+y)6- 2y(2x+y)6+(2x+y)6,(2x+y)6的展开式的通项
????6- r6- rr
Tr+1=C6(2x)6- ryr=C62·xy.
3324
x(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为C62=160;- 2y(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为- 2×C6×2=- 480;(2x+y)6的展开式中无x4y3项.
综上,(x- 2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为- 320.
??
14.0或2 因为x+a=(x+1)+(a- 1),所以(x+a)9=[(x+1)+(a- 1)]9,其展开式的通项Tr+1=C9(a-
5
1)9- r(x+1)r,所以a5=C9(a- 1)4=126,所以(a- 1)4=1,解得a=0或2.
15. 因为(x2- )n的展开式中只有第4项的二项式系数最大,
64
2??
11
所以展开式中共有2×4- 1=7(项),所以n=6,所以(x2- )n=(x2- )6.
2??
2??
11
令x=1,可得展开式中所有项的系数之和是(1- )6=.
2
64
11
16.210 由于(x3+??2)n的展开式中只有第6项的系数最大,所以展开式中共有11项,所以n=10.
????30- 5r??30- 5r所以(x3+??2)n=(x3+??2)10,展开式的通项Tr+1=C10(??3)10- ??·x- 2r=C10x,所以当r=6时,C10x
1
1
1
为常数项,
所以常数项为210.
??9- r??9- r??
17.B 由(x+2y- 3z)9=[x+(2y- 3z)]9,得其展开式的通项Tr+1=C9·x·(2y- 3z)r=C9·x·C??·(2y)r-
????r- tt
·(- 3z)t=C9·C??·2·(- 3)t·x9- r·yr- t·zt(0≤t≤r≤9), ??=3,
??=3,532
令{??- ??=2,解得{故含x4y2z3项的系数为C9×C5×2×(- 3)3=- 136 080.
??=5.
9- ??=4,18.BCD 令1- x=,即x=,可得(2×- m)7=(1- m)7=a0+
2
2
2
1
1
1
??12
+
??22
+…+7=- 128,解得m=3,故A错27
2
??
3
误;令x=1,得a0=(- 1)7=- 1,(2x- 3)7=[- 1- 2(1- x)]7,所以a3=C7×(- 1)4×(- 2)3=- 280,故B,C正确;对(2x- 3)7=a0+a1(1- x)+a2(1- x)2+…+a7(1- x)7两边求导得14(2x- 3)6=- a1- 2a2(1- x)- …- 7a7(1- x)6,令x=2得- a1+2a2- 3a3+4a4- 5a5+6a6- 7a7=14,故D正确.故选BCD.
????5- r10- 2
19.2 121 易知(ax2+)5的展开式的通项Tr+1=C5(ax2)5- r·()r=C5a??.令10- =0,解
√??√??2
115??
5??
45- 4得r=4,所以常数项为T5=C5a=10,解得a=2.由10- 2?Z,且0≤r≤5,可得r=1,3,5,因此展开式15- 110- 235- 310- 255- 中的所有无理项为T2,T4,T6,其中T2=C52·??=80??2,T4=C52??=40??2,T6=C52
5??10- 2
25
5
15
15
5
5??
=??2,故展开式中所有无理项的系数之和为80+40+1=121.
-
5
20.8x6 依题得2n=256,所以n=8.
在(ax+??)8的展开式中,令x=1,则有(a+b)8=256,所以a+b=2.
????8- rr8- 2r(ax+??)8的展开式的通项Tr+1=C8(ax)8- r·(??)r=C8abx,
444令8- 2r=0,得r=4,可得常数项为C8ab=70,解得ab=1或ab=- 1(舍),
??
??
??
????=1,??=1,??8- 2r则由{解得{所以Tr+1=C8x.
??+??=2,??=1.令8- 2r=6,得r=1.
16
所以T2=C8x=8x6,故展开式中含x6的项为8x6.
【易错警示】 解题时易将“二项式系数和”与“所有项的系数和”混淆,解题的关键是弄清两者的概念.二项展开式中二项式系数和为2n,而求解二项展开式中所有项的系数和时常用赋值法.
2021高考数学(新高考版)一轮复习考点：第十章 第二讲 二项式定理
