高中数学-直线与圆的位置关系

由天下分享时间：2024/10/21 19:26:53 加入收藏我要投稿点赞

直线与圆的位置关系

直线的方程

斜截式斜率k y=kx+b 不包括垂直于x轴的直线

纵截距b

点斜式点P1(x1,y1) y?y1=k（x?x1）不包括垂直于x轴的直线

斜率k

两点式点P1(x1,y1) y ? y 1 x ? x不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线 1和P2(x2,y2) y 1 x 2 ? x 1 y 2 ?截距式横截距a 线

纵坐标b

一般式 Ax+By+C=0 A、B不同时为0 圆的方程

标准式：(x?a)?(y?b)?r，其中r为圆的半径，(a,b)为圆心．

222?xy??1 不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直abDE?2222一般式：x?y?Dx?Ey?F?0（D?E?4F?0）.其中圆心为???,??，

2??21半径为D2?E2?4F

2?x?rcos??x?a?rcos?参数方程:?，?(?是参数）. 消去θ可得普通方程

y?b?rsin?y?rsin???

典型例题

例1.已知一个圆和y轴相切，在直线y?x上截得的弦长为27，且圆心在直线x?3y?0上，求圆的方程。

练习：求过点A?1,2?和B?1,10?且与直线x?2y?1?0相切的圆的方程。

练习：已知圆C和y轴相切，圆心在直线x?3y?0上，且被直线y?x截得的弦长为

，求圆C的方程。

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点与圆的位置关系：

已知点M?x0,y0?及圆C：?x-a???y?b??r2?r?0?，（1）点M在圆C外?CM?r??x0?a???y0?b??r2；（2）点M在圆C内?CM?r??x0?a???y0?b??r2；（3）点M在圆C上?CM?r??x0?a???y0?b??r2

圆的切线

(1)切线：①过圆x2?y2?R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：xx0?yy0?R2，过圆

22222222(x?a)2?(y?b)2?R2上一点

P(x0,y0)圆的切线方程是：

(x?a)(x0?a)?(y?a)(y0?a)?R2，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的

距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆x?y?Dx?Ey?F?0（(x?a)2?(y?b)2?R2）外一点P(x0,y0)所引圆的切线的长为

22x02?y02?Dx0?Ey0?F（(x0?a)2?(y0?b)2?R2）；

222例2. 已知圆的方程为x?y?r， P(x0.y0)是圆外一点，经过P点作圆的切线两切线，

切点分别为A,B,求直线AB的方程。

22练习：写出过圆x?y?10 上的一点M(2,6)的切线方程

练习：设A为圆(x?1)?y?1上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为---

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直线与圆的位置关系：

直线l:Ax?By?C?0和圆C：?x?a???y?b??r2?r?0?有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：

（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：??0?相交；??0?相离；??0?相切；

（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则d?r?相交；d?r?相离；d?r?相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷

22x?y?m?0圆方程为(x?1)?y?1则当m为何值时，直线与圆例3.已知直线方程为

22（1）相切 (2)相离（3）相交